Факторизация в поле $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}, \sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

В теме о числе классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ мы столкнулись с проблемой установления законов разложения простых чисел в произведение простых идеалов поля $\mathbb{Q}[i_n+i_n^{-1}, \sqrt[n]{2}]$. Ранее мы установили эти законы для полей $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ и $\mathbb{Q}[i_n, \sqrt[n]{2}]$.
В этой теме мы напомним уже установленные нами законы и попытаемся найти новые.

Перед этим напомним наши достижения в подходе к доказательству ВТФ, используя поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.

Пусть $n>2$ - простое число и $x, y, z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, которые удовлетворяют уравнению Ферма: $x^n+y^n+z^n=0$.
Пусть $x$ - нечётное число и $y^n-z^n$ не делится на $n$.

1. Мы проверили, что число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равно $1$ для всех нечётных простых чисел $n<100$ и высказали гипотезу, что это верно для всех нечётных простых $n$.

2. Мы доказали, что если $e_1 (x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2)=\alpha^2$, где $e_1$ - положительный делитель единицы кольца $A(\sqrt[n]{2})$ и $\alpha \in A(\sqrt[n]{2})$, то $e_1$ является квадратом в кольце $A(\sqrt[n]{2})$.

Таким образом, если число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равно $1$, то $x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2=\alpha^2$, где $\alpha \in A(\sqrt[n]{2})$.
Значит для доказательства ВТФ нужно, во-первых, доказать нашу гипотезу, что число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равно $1$, во-вторых получить противоречие из равенства $x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2=\alpha^2$, где $\alpha \in A(\sqrt[n]{2})$.
Обе эти задачи трудные, и я пока не знаю, как к ним подступиться.

Это вспомогательная тема в рамках попыток найти подход к первой задаче.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Оставим пока попытки доказать, что число классов идеалов поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ равно $1$.
Пусть $x^2-yz \sqrt[n]{4}=I^2$, где $I$ - идеал этого поля, норма которого равна $a$, где $a^2=x^{2 n}-4 (y z)^n$.
Тогда $I=(a, x^2-yz \sqrt[n]{4})$, то есть идеал $I$ генерируется числами $a$ и $x^2-yz \sqrt[n]{4}$.

Обоснуем вкратце последнее утверждение в оффтопике:

(Оффтоп)

Числа $a$ и $x^2-yz \sqrt[n]{4}$ делятcя на идеал $I$, поскольку их квадраты делятся на $I^2$. Если числа $a$ и $x^2-yz \sqrt[n]{4}$ делятся на какой-либо идеал $J$, то их квадраты делятся на $J^2$, следовательно число $x^2-yz \sqrt[n]{4}$, являющееся наибольшим общим делителем этих квадратов, делится на $J^2$, следовательно $I^2$ делится на $J^2$, следовательно $I$ делится на $J$. Значит идеал $I$ является наибольшим общим делителем чисел $a$ и $x^2-yz \sqrt[n]{4}$, что и требовалось.

.

Мы не будем заниматься факторизацией поля, указанного в названии этой темы.
Вместо этого, рассмотрим линейные комбинации чисел $a$ и $x^2-yz \sqrt[n]{4}$, и попытаемся найти среди них число с нормой $k a$, где $k$ является небольшим целым положительным числом.
Мы знаем из темы "Новое простое доказательство ВТФ для $n=3$", что $k$ можно взять меньше чем число, зависящее от $n$.
Наше цель, если можно, найти $k$, не зависящее от $n$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Пусть $g=\sqrt[n]{2}$ и $b=b_0+b_1 g+...+b_{n-1} g^{n-1} \in I$.
Тогда существует такое число $v=v_0+v_1 g+...+v_{n-1} g^{n-1}$, что $v (x^2-yz \sqrt[n]{4}) \equiv b \mod a$.
Или $v_0 x^2 - v_{n-2} 2 yz \equiv b_0, v_1 x^2 - v_{n-1} 2 yz \equiv b_1, v_2 x^2-v_0 yz \equiv b_2$, ... ..., $v_{n-1} x^2-v_{n-3} yz \equiv b_{n-1} \mod a$.

Мы можем выразить $v_{n-2}$ через $v_0$ и $b_0$, $v_{n-4}$ через $v_{n-2}$ и $b_{n-2}$, ...
Таким образом, мы дойдём до $v_1, v_{n-1}, v_{n-3}, ..., v_0$.
Нам удобно перенумеровать индексы: пусть $v'_0=v_0, b'_0=b_0, v'_1=v_{n-2}, b'_1=b_{n-2}, ..., b'_{n-1}=b_2, v'_{n-1}=v_2$.
Пусть $h=1/2, h_1=x^2/(yz), h_2=1/(y z)$.
Тогда $v'_1=h h_1 v'_0-h h_2 b'_0, v'_2=h_1 v'_1-h_2 b'_1, v'_3=h_1 v'_2-h_2 b'_2$, ...

..., $v'_{(n-1)/2}=h h_1 v'_{(n-3)/2}-h h_2 b'_{(n-3)/2}, v'_{(n+1)/2}=h_1 v'_{(n-1)/2}-h_2 b'_{(n-1)/2}$, ...

..., $v'_{n-1}=h_1 v'_{n-2}-h_2 b'_{n-2}, v'_0=h_1 v'_{n-1}-h_2 b'_{n-1}$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим ошибку, вместо $=$ должно быть $\equiv$:

$v'_1 \equiv h h_1 v'_0-h h_2 b'_0, v'_2 \equiv h_1 v'_1-h_2 b'_1, v'_3 \equiv h_1 v'_2-h_2 b'_2$, ...

..., $v'_{(n-1)/2} \equiv h h_1 v'_{(n-3)/2}-h h_2 b'_{(n-3)/2}, v'_{(n+1)/2} \equiv h_1 v'_{(n-1)/2}-h_2 b'_{(n-1)/2}$, ...

..., $v'_{n-1} \equiv h_1 v'_{n-2}-h_2 b'_{n-2}, v'_0 \equiv h_1 v'_{n-1}-h_2 b'_{n-1} \mod a$.

Из этих сравнений следует: $v'_0 \equiv h^2 h_1^n v'_0-h^2 h_1^{n-1} h_2 b'_0-h h_1^{n-2} h_2 b'_1-...-h h_1^{(n+1)/2} h_2 b'_{(n-3)/2}-h_1^{(n-1)/2} h_2 b'_{(n-1)/2}-...-h_2 b'_{n-1} \mod a$.

Поскольку $h^2 h_1^n \equiv 1 \mod a$, то из предыдущего сравнения получим:

(I) $h^2 h_1^{n-1} h_2 b'_0+h h_1^{n-2} h_2 b'_1+...+h h_1^{(n+1)/2} h_2 b'_{(n-3)/2}+h_1^{(n-1)/2} h_2 b'_{(n-1)/2}+...+h_2 b'_{n-1} \equiv 0 \mod a$.

Сравнение (I) является необходимым и достаточным условием принадлежности числа $b=b_0+b_1 g+...+b_{n-1} g^{n-1}$ идеалу $I$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Сравнение (I) можно сократить на $h_2$, но мы не будем заниматься этим сравнением.
Можно получить более простое сравнение, если рассматривать число $b_0+b_1 \sqrt[n]{4}+...+b_{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}$.
Необходимым и достаточным условием принадлежности этого числа идеалу $I$ является сравнение:

(II) $b_0+b_1 h_1+...+b_{n-1} h_1^{n-1} \equiv 0 \mod a$,

где $h_1 \equiv x^2/yz \mod a$.

Можно получить это сравнение, рассматривая сравнение

$(v_0+v_1 \sqrt[n]{4}+...+v_{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}) (x^2-yz \sqrt[n]{4}) \equiv b_0+b_1 \sqrt[n]{4}+...+b_{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}$ по модулю $a$.

При этом нам не придётся перенумеровывать индексы как раньше.
А можно получить сравнение (II) деля многочлен $b_0+b_1 x+...+b_{n-1} x^{n-1}$ на $x-h_1$ c остатком.
Поскольку остаток сравним с $0$ по модулю $a$, то мы сразу получим сравнение (II).

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Оказывается, мы уже получали сравнение (II) в теме topic71885.html.
Там мы получили оценку коэффициентов $b_0, b_1, ..., b_n$, используя теорему Минковского:

Феликс Шмидель в сообщении #774821 писал(а):

Любопытно, насколько лучшую оценку, по сравнению с элементарной даёт теорема Минковского.
Рассмотрим множество точек $(r_0, ..., r_n)$ с целочисленными координатами в $\mathbb{R}^n$, удовлетворяющих (4).
Это множество является подгруппой по сложению группы $\mathbb{Z}^n$.
Индекс этой подгруппы равен $a$, поэтому объём фундаментальной области решётки, образуемой точками этого множества равен $a$.
Cогласно теореме Минковского, $n$-мерный шар, с центром в начале координат, объём которого больше чем $2^n a$, содержит хотя бы одну точку рассматриваемого множества.
Объем $n$-мерного шара радиуса $R$ равен $\pi^{(n-1)/2} R^n 2^n ((n-1)/2)!/n!$.
Получим: $R>\sqrt[n]{a} (\frac{n!}{((n-1)/2)!})^{1/n}/\pi^{(n-1)/(2 n)}$.
Эта оценка лучше элементарной, но элементарная проще и удобней.

Нужны новые идеи.

[Феликс Шмидель]

Пусть $n$ - нечётное простое число.
Пусть $p$ - простое число, по модулю которого существует $\sqrt[n]{4}$ (такими являются все простые $p$ не сравнимые с $1$ по модулю $n$ и некоторые простые $p$, сравнимые с $1$ по модулю $n$).
Пусть $h_1$ - целое положительное число, сравнимое с $\sqrt[n]{4}$ по модулю $p$ (то есть, такое, что $h_1^n \equiv 4 \mod p$).
Пусть $I$ - идеал состоящий из чисел вида $b_0+b_1 \sqrt[n]{4}+...+b_{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}$, где $b_0, b_1, ..., b_{n-1}$ - целые числа, удовлетворяющие сравнению

(III) $b_0+b_1 h_1+...+b_{n-1} h_1^{n-1} \equiv 0 \mod p$.

Покажем, что норма идеала $I$ равна $p$.
В самом деле, число $p$ принадлежит идеалу $I$, следовательно $p^n$ (норма числа $p$) делится на норму идеала $I$.
C другой стороны если число $b_0+b_1 \sqrt[n]{4}$ принадлежит идеалу $I$, то ему принадлежит и число $(b_0+p)+b_1 \sqrt[n]{4}$, следовательно числа $(b_0+p)^n+4 b_1^n$ и $b_0^n+4 b_1^n$ оба делятся на норму идеала $I$, откуда следует, что эта норма не делится на $p^2$ (если $b_0$ не делится на $p$, то $(b_0+p)^n-b_0^n$ не делится на $p^2$).
Значит норма идеала $I$ равна $p$.
Что и требовалось.

Мы знаем, что для всех простых $n<100$ и всех простых $p$, идеал $I$ - главный.
Может быть имеет смысл написать программу, которая для заданных $n$ и $p$ вычисляет $b_0, b_1, ..., b_{n-1}$, для которых норма числа $b_0+b_1 \sqrt[n]{4}+...+b_{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}$ равна $p$.

[Феликс Шмидель]

Примером такой программы может быть следующий код в 'Sage':

K.<a>=NumberField(x^7-2);K
I=K.ideal(997);
F=I.factor();F
J=K.ideal(997, a + 439);
J.norm()
J.gens_reduced()

В этом примере $n=7, p=997$.
Комманда

I.factor()

даёт идеал $(997, a + 439)$ c двумя генераторами.
Для того, чтобы получить один генератор, мы используем комманду

J.gens_reduced()

.
Она даёт генератор $a^6 - a^5 - a^4 - a^2 - a + 1$.

Пока что, сколько я не пробовал, все коэффициенты равны 1, -1 или 0, но иногда я получал коэффициент $2$ при $a$.
Является ли это закономерностью, я не знаю.

[Феликс Шмидель]

Для того, чтобы понять, какая закономерность имеет место, нужны не одиночные пробы, а программа на языке 'Sage' c использованием цикла. Я не программировал на 'Sage', но думаю, что нетрудно этому научиться. Можно использовать комманду

R = Primes();

для получения множества простых чисел. Затем комманда

p=R.first()

даcт первое простое число $2$. Комманда

p=R.next(p)

даст следующее простое число. Мы можем, например, взять $n=7$ и организовать цикл по всем простым числам до 1000. Будем брать простые числа $p$, не сравнимые с $1$ по модулю $n$, потому что для таких простых $p$ имеется единственный простой идеал, делящий $p$ c нормой $p$. Комманды

I=K.ideal(p); F=I.factor();

дадут список идеалов - делителей числа $p$ в переменной $F$. Я получал интересующий нас идеал последним в этом списке, но не знаю всегда ли это так. Можно пройтись по всем идеалам списка и найти идеал с нормой $p$.
Может быть скоро я смогу написать такую программу.

-- Ср окт 28, 2015 13:46:57 --

Вот эта программа:

n=7;
K.<a>=NumberField(x^n-2);
R=Primes();
p=R.first(); 
for i in range(168):
    p=R.next(p);
    if (p-1)%n!=0:
        I=K.ideal(p);
        F=I.factor();
        L=list(F);
        for J in L:
            if J[0].norm()==p:
                J[0].gens_reduced()

и её результаты:

(a^2 - 1,)
(-a^2 - 1,)
(a^2 + a + 1,)
(a^5 - a^3 + a - 1,)
(a^4 - a^2 + 1,)
(a^4 + 1,)
(-a^5 - a^4 - a^3 - a^2 - 1,)
(-a^3 + a + 1,)
(a^5 - 1,)
(a^5 + a^2 + a - 1,)
(-a^5 + a + 1,)
(a^5 + a^3 + a^2 + a + 1,)
(a^6 + a + 1,)
(-a^5 + a^4 + a^3 - a^2 + 1,)
(a^2 + a - 1,)
(a^3 + a + 1,)
(a^6 + a^3 + 1,)
(a^6 + a - 1,)
(a^3 + a^2 + 1,)
(a^4 + a^2 - a + 1,)
(a^6 + a^4 + a^3 + a^2 + 2*a + 1,)
(a^4 - a^2 - 1,)
(-a^6 - a^4 - a^3 - a + 1,)
(a^6 + a^4 - 1,)
(a^6 + a^5 + a^3 + 2*a + 1,)
(a^4 + a^2 - 1,)
(-a^5 + a^4 - a^2 + a + 1,)
(-a^6 + a^5 - 2*a^3 + a^2 + 2*a - 1,)
(-a^6 + a^4 + 1,)
(-a^5 - a^3 - 2*a^2 - a - 3,)
(a^5 - a^4 + 1,)
(a^6 + a^2 - a - 1,)
(a^6 + a^5 + a^4 + 2*a^2 + a + 3,)
(a^6 - a^2 + 1,)
(-a^5 - a^4 - a^2 - 1,)
(a^6 + a^5 - a^4 + a^2 - 1,)
(-a^6 - a^5 - a^3 - a - 1,)
(a^5 - 2*a^3 + a - 1,)
(-a^6 - a^4 - a^3 - 2*a^2 - 2*a - 1,)
(-a^6 - a^5 - a^4 - a^3 - 2*a - 1,)
(-a^5 + a^4 + a^2 + a - 1,)
(a^6 + a^5 - a^3 + 1,)
(a^5 - a^3 - a^2 - 1,)
(a^6 - a^4 + a^3 + a^2 - a + 1,)
(-a^6 - a^4 - a - 1,)
(-2*a - 1,)
(a^3 + a^2 - a + 1,)
(-a^6 + a^4 - a^3 - 2*a^2 + 2*a + 1,)
(a^6 + a^4 + a^3 + 1,)
(a^5 - a^3 + 1,)
(a^6 + a^4 - a^3 + 1,)
(a^6 - a^4 - a^2 - a + 1,)
(a^3 - a^2 - a - 1,)
(a^5 - a^3 + a^2 - a - 1,)
(a^5 - a^4 + a^2 - a + 1,)
(a^5 - a^4 + a^3 - a + 1,)
(a^4 - a^3 - a^2 + a - 1,)
(a^4 - a^3 + a + 1,)
(-a^6 + a^4 - a^3 + a - 1,)
(a^4 + a^3 - a^2 - 2*a + 1,)
(a^4 + a^3 - a + 1,)
(-a^6 - a^5 + 2*a^4 - 3*a^2 + 3,)
(a^5 + a^3 - a^2 + a - 1,)
(2*a^5 - a^4 - 2*a^3 + a^2 + 2*a - 3,)
(a^6 + a^3 - a^2 - 1,)
(-a^6 + a^5 + a^3 + 1,)
(a^5 + a^3 - a^2 + 1,)
(-a^6 + a^5 + a^4 - 2*a^3 + a - 1,)
(-a^6 - a^5 - a^2 + a + 1,)
(a^6 + 2*a^5 + 2*a^4 + 2*a^3 + 3*a^2 + a + 3,)
(a^6 - a^5 + a^4 + a^2 + 2*a - 1,)
(a^6 - a^4 - a^2 + a + 1,)
(a^5 - a^3 - a^2 + a + 1,)
(a^6 - a^5 - a^3 - a^2 - 1,)
(-a^6 + a^4 + a^3 - a^2 + 1,)
(-a^6 + a^5 - a^4 + a^3 + a + 1,)
(a^6 + a^3 + a^2 - a - 1,)
(2*a^2 + a + 1,)
(-a^6 - a^5 - 2*a^3 - a^2 - 2*a - 1,)
(a^5 + a^3 + a - 1,)
(a^6 - 2*a + 1,)
(a^5 - a^2 + 2*a - 1,)
(a^6 + a^5 - 2*a^4 + 2*a^2 - 2*a - 3,)
(-a^6 - a^5 - a^4 - a^2 - a - 3,)
(-a^6 + a^5 - a^4 + 2*a^3 + 1,)
(a^5 + a^4 + 2*a^2 + a + 1,)
(-a^6 - 2*a^3 + a - 1,)
(a^6 + 2*a - 1,)
(a^4 - a^2 + 2*a + 1,)
(a^6 + a^4 + a^2 - 1,)
(a^5 + a^4 - a^2 + a + 1,)
(a^6 + a^5 - 1,)
(-a^4 + 2*a^3 - a + 1,)
(a^5 - a^4 + a + 1,)
(a^6 + a^4 - a^3 - a^2 - a + 1,)
(-a^6 - a^5 - a^4 + a^3 + a^2 - 1,)
(a^4 + a^2 + 2*a + 1,)
(a^5 + a^2 + 2*a + 1,)
(a^5 - a^2 + a + 1,)
(a^5 - a^4 - a^3 - a^2 + 1,)
(2*a^3 + a - 1,)
(-a^6 - a^5 - a^3 + a^2 - a - 1,)
(-a^6 + a^5 - a^4 - a^3 + a^2 - a + 1,)
(a^6 - a^5 - a^4 + a^3 - 1,)
(-a^6 - a^5 + a^4 + a^3 - 2*a^2 + 1,)
(a^4 + 2*a - 1,)
(a^4 - a^3 - a^2 - a - 1,)
(a^6 - a^5 - a^4 + a + 1,)
(a^6 - a^5 - a^4 + a^3 + 1,)
(a^6 + 2*a^4 + a^3 + 3*a^2 + 2*a + 1,)
(-a^6 + a^5 - a^4 + a^3 - a^2 - a - 1,)
(-2*a^3 + a^2 - a + 1,)
(2*a^3 + a^2 - a - 1,)
(-a^5 + a^3 - a^2 + 3,)
(a^3 - a^2 - 2*a + 1,)
(a^5 - a^4 - a^3 + a + 1,)
(-a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + 2*a - 1,)
(-a^6 - a^5 - a^4 - 2*a^2 - 1,)
(a^6 + a^5 + a^4 - a - 1,)
(-a^6 - 2*a^4 - a^2 - 1,)
(a^6 + a^4 + a^3 + 2*a^2 + 1,)
(a^5 + a^4 + a^3 - a + 1,)
(a^6 - a^3 - a - 1,)
(-a^6 + a^3 - a^2 - 1,)
(-a^6 + a^5 + a^4 - a^3 + a^2 + a - 1,)
(a^5 + a^2 - a + 3,)
(a^5 + a^4 + a^2 + 2*a - 1,)
(a^5 - 2*a^2 - a + 1,)
(-2*a^6 + 2*a^4 - a^3 - 3*a^2 + 2*a + 3,)
(-2*a^6 - a^5 - 2*a^4 - 2*a^2 - a - 3,)
(a^6 + 2*a^5 + a^4 + 2*a^3 + a^2 + 3*a + 3,)
(a^5 + a^3 - a^2 + 2*a + 1,)
(-a^5 + a^3 - 2*a^2 - a + 3,)
(-a^6 - a^5 + 2*a^4 + a^3 - 2*a^2 + a + 1,)
(a^5 - a^4 + 2*a - 1,)
(a^5 - a^4 - a^3 + 3*a^2 - 3,)
(-2*a^5 + a^3 - a^2 - a + 3,)
(a^6 + a^4 - 2*a^3 + a^2 - a + 1,)
(a^6 - a^5 - a^4 - a^2 - a + 1,)

[Феликс Шмидель]

Получается, что числа вида $b_0+b_1 \sqrt[n]{2}+...+b_{n-1} (\sqrt[n]{2})^{n-1}$ с коэффициентами $0, 1, -1$ имеют нормой большое количество простых чисел (причём нас интересуют не только числа с нормой $p$, но и с нормой $k p$, где $k$ - небольшое, не зависящее от $n$, число).
Конечно, не все простые числа $p$ представимы нормой чисел с такими коэффициентами, но нам достаточно рассмотреть простые числа $p \le M \sqrt{|\Delta|}$, где $M=(\frac{4}{\pi})^{(n-1)/2} \frac{n!}{n^n}$ - константа Минковского, а $\Delta=(-1)^{(n-1)/2} 2^{n-1} n^n$ - дискриминант поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ (в некоторых случаях дискриминант этого поля может равняться $(-1)^{(n-1)/2} 2^{n-1} n^{n-2}$, но это пока неважно).
Основанием для этой оценки является теорема 10.4 на стр. 176 в учебнике "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem" Стюарта и Толла и наше вычисление дискриминанта поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ в теме "Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$".

Согласно формуле Стирлинга $n! \sim \sqrt{2 \pi n} (\frac{n}{e})^n$, поэтому $M \sim (\frac{4}{\pi})^{(n-1)/2} \sqrt{2 \pi n}/e^n$.

Согласно этой формуле $M \sqrt{|\Delta|}$ содержит множитель $(n/e^2)^{n/2}$, поэтому $M \sqrt{|\Delta}|$ значительно превышает количество чисел вида $b_0+b_1 \sqrt[n]{2}+...+b_{n-1} (\sqrt[n]{2})^{n-1}$ с коэффициентами $0, 1, -1$.

[Феликс Шмидель]

Мы получили числа поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$, норма которых равна простым числам от 3 до 997.
Нам могут пригодиться абсолютные величины этих чисел и сопряжённых с ними, а также сумма абсолютных величин сопряжённых чисел.
Дело в том, что упомянутая теорема 10.4 основана на применении теоремы Минковского к симметричному выпуклому множеству чисел для которых упомянутая сумма абсолютных величин не превышает некоторого числа.
Затем используется теорема о том, что среднее геометрическое этих абсолютных величин не превосходит их среднего арифметического.
Если эти абсолютные величины далеки друг от друга, то среднее геометрическое может быть гораздо меньше среднего арифметического.
Кроме этого, можно рассмотреть симметричное выпуклое множество чисел с суммой абсолютных величин меньше $c$, где $c$ меньше нужного для применения теоремы Минковского значения.
Такое множество не удовлетворяет теореме Минковского, но его можно вписать в другое множество, которое будет удовлетворять этой теореме.
Значит нам нужно научиться, как на языке программирования 'Sage' вычисляются абсолютные величины сопряжённых с данным числом чисел.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

На языке программирования 'Sage', абсолютные величины чисел сопряженных с некоторым числом $b$ вычисляются просто:

b.abs(i=0), b.abs(i=1), ..., b.abs(i=n-1)

, где $n$ - степень поля.
Следующая программа вычисляет сумму абсолютных величин сопряжённых чисел для чисел, полученных ранее (норма которых является простым числом):

n=7;
K.<a>=NumberField(x^n-2);
R=Primes();
p=R.first();
for i in range(168):
    p=R.next(p);
    if (p-1)%n!=0:
        I=K.ideal(p);
        F=I.factor();
        L=list(F);
        for J in L:
            if J[0].norm()==p:
                G=J[0].gens_reduced();
                b=G[0];
                v=b.abs(i=0)+b.abs(i=1)+b.abs(i=2)+b.abs(i=3)+b.abs(i=4)+b.abs(i=5)+b.abs(i=6);
                print p, v, b

Вот её результаты:

3 9.99300248513449 a^2 - 1
5 10.0861611295469 -a^2 - 1
7 11.4036958168339 a^2 + a + 1
11 13.9797639511247 a^5 - a^3 + a - 1
13 12.8741576708371 a^4 - a^2 + 1
17 11.6339015784568 a^4 + 1
19 16.1873620032534 -a^5 - a^4 - a^3 - a^2 - 1
23 12.6219327169151 -a^3 + a + 1
31 12.5690476112729 a^5 - 1
37 14.7848270329095 a^5 + a^2 + a - 1
41 13.9941775924122 -a^5 + a + 1
47 15.5982185736305 a^5 + a^3 + a^2 + a + 1
53 14.5175070798982 a^6 + a + 1
59 16.5933752125789 -a^5 + a^4 + a^3 - a^2 + 1
61 13.0480847210975 a^2 + a - 1
67 13.3144727699367 a^3 + a + 1
73 15.0997668264433 a^6 + a^3 + 1
79 14.7439335989816 a^6 + a - 1
83 13.7398369998381 a^3 + a^2 + 1
89 15.1292126068308 a^4 + a^2 - a + 1
97 19.1122519925161 a^6 + a^4 + a^3 + a^2 + 2*a + 1
101 14.5109112009308 a^4 - a^2 - 1
103 18.1691406782030 -a^6 - a^4 - a^3 - a + 1
107 16.0378710544246 a^6 + a^4 - 1
109 19.8950628662950 a^6 + a^5 + a^3 + 2*a + 1
131 14.6381146713299 a^4 + a^2 - 1
137 17.4780392204406 -a^5 + a^4 - a^2 + a + 1
139 22.8921858671016 -a^6 + a^5 - 2*a^3 + a^2 + 2*a - 1
149 16.2647074522065 -a^6 + a^4 + 1
151 24.4486998100493 -a^5 - a^3 - 2*a^2 - a - 3
157 15.7009881551889 a^5 - a^4 + 1
163 16.5515648165504 a^6 + a^2 - a - 1
167 24.5515925011458 a^6 + a^5 + a^4 + 2*a^2 + a + 3
173 15.6784007418838 a^6 - a^2 + 1
179 16.5985867234740 -a^5 - a^4 - a^2 - 1
181 18.5597482589528 a^6 + a^5 - a^4 + a^2 - 1
191 17.9599765405795 -a^6 - a^5 - a^3 - a - 1
193 19.7498634595096 a^5 - 2*a^3 + a - 1
199 22.0024568910486 -a^6 - a^4 - a^3 - 2*a^2 - 2*a - 1
223 20.1586731366430 -a^6 - a^5 - a^4 - a^3 - 2*a - 1
227 18.1780643294182 -a^5 + a^4 + a^2 + a - 1
229 18.0263415336386 a^6 + a^5 - a^3 + 1
233 17.0983661091569 a^5 - a^3 - a^2 - 1
241 19.1351561582192 a^6 - a^4 + a^3 + a^2 - a + 1
251 17.1911373157740 -a^6 - a^4 - a - 1
257 16.2622606101304 -2*a - 1
263 16.0139088076183 a^3 + a^2 - a + 1
269 22.6355075332131 -a^6 + a^4 - a^3 - 2*a^2 + 2*a + 1
271 17.6133236408483 a^6 + a^4 + a^3 + 1
277 16.0639435782262 a^5 - a^3 + 1
283 18.4398284466433 a^6 + a^4 - a^3 + 1
293 18.8295751351902 a^6 - a^4 - a^2 - a + 1
307 16.1387943701303 a^3 - a^2 - a - 1
311 18.3472657145227 a^5 - a^3 + a^2 - a - 1
313 18.3803749255039 a^5 - a^4 + a^2 - a + 1
317 18.4467984579900 a^5 - a^4 + a^3 - a + 1
331 17.9135031934263 a^4 - a^3 - a^2 + a - 1
347 16.8097054053115 a^4 - a^3 + a + 1
349 18.6599708318712 -a^6 + a^4 - a^3 + a - 1
353 20.8164728117352 a^4 + a^3 - a^2 - 2*a + 1
359 16.8932688058025 a^4 + a^3 - a + 1
367 28.9821742921424 -a^6 - a^5 + 2*a^4 - 3*a^2 + 3
373 18.0739940261080 a^5 + a^3 - a^2 + a - 1
383 28.8275526873623 2*a^5 - a^4 - 2*a^3 + a^2 + 2*a - 3
389 17.9495672024816 a^6 + a^3 - a^2 - 1
397 18.4437583124338 -a^6 + a^5 + a^3 + 1
401 17.5136089857331 a^5 + a^3 - a^2 + 1
409 22.4896049625539 -a^6 + a^5 + a^4 - 2*a^3 + a - 1
419 19.5168761107656 -a^6 - a^5 - a^2 + a + 1
431 30.7898194463422 a^6 + 2*a^5 + 2*a^4 + 2*a^3 + 3*a^2 + a + 3
433 22.9212760515644 a^6 - a^5 + a^4 + a^2 + 2*a - 1
439 19.0490446034093 a^6 - a^4 - a^2 + a + 1
443 18.5385818624957 a^5 - a^3 - a^2 + a + 1
457 19.9397893669458 a^6 - a^5 - a^3 - a^2 - 1
461 19.4825864005302 -a^6 + a^4 + a^3 - a^2 + 1
467 20.3696314745861 -a^6 + a^5 - a^4 + a^3 + a + 1
479 18.7418305534163 a^6 + a^3 + a^2 - a - 1
487 18.4780854972198 2*a^2 + a + 1
499 23.2194021151426 -a^6 - a^5 - 2*a^3 - a^2 - 2*a - 1
503 17.5811031897458 a^5 + a^3 + a - 1
509 19.6207664119515 a^6 - 2*a + 1
521 19.9765827279593 a^5 - a^2 + 2*a - 1
523 28.9030251695032 a^6 + a^5 - 2*a^4 + 2*a^2 - 2*a - 3
541 23.3461092058592 -a^6 - a^5 - a^4 - a^2 - a - 3
557 22.6808030606755 -a^6 + a^5 - a^4 + 2*a^3 + 1
563 20.9106812995284 a^5 + a^4 + 2*a^2 + a + 1
569 21.2323202432468 -a^6 - 2*a^3 + a - 1
571 19.2118214926513 a^6 + 2*a - 1
577 19.5709423572259 a^4 - a^2 + 2*a + 1
587 18.5835472163541 a^6 + a^4 + a^2 - 1
593 19.1399625708499 a^5 + a^4 - a^2 + a + 1
599 18.0063121768275 a^6 + a^5 - 1
601 21.0871663730471 -a^4 + 2*a^3 - a + 1
607 18.0892370163314 a^5 - a^4 + a + 1
613 20.8093363142333 a^6 + a^4 - a^3 - a^2 - a + 1
619 21.0642531690796 -a^6 - a^5 - a^4 + a^3 + a^2 - 1
641 19.4144814057263 a^4 + a^2 + 2*a + 1
643 19.6953555292847 a^5 + a^2 + 2*a + 1
647 17.6752614629853 a^5 - a^2 + a + 1
653 19.5078171447037 a^5 - a^4 - a^3 - a^2 + 1
661 19.9322456363024 2*a^3 + a - 1
677 21.1630914658634 -a^6 - a^5 - a^3 + a^2 - a - 1
683 21.8967085524909 -a^6 + a^5 - a^4 - a^3 + a^2 - a + 1
691 20.8167799242927 a^6 - a^5 - a^4 + a^3 - 1
709 22.9446875559172 -a^6 - a^5 + a^4 + a^3 - 2*a^2 + 1
719 19.0266371776311 a^4 + 2*a - 1
727 18.7197703107575 a^4 - a^3 - a^2 - a - 1
733 20.5262396908999 a^6 - a^5 - a^4 + a + 1
739 20.7061980320061 a^6 - a^5 - a^4 + a^3 + 1
751 29.7094929689457 a^6 + 2*a^4 + a^3 + 3*a^2 + 2*a + 1
761 22.5711246265636 -a^6 + a^5 - a^4 + a^3 - a^2 - a - 1
769 20.5352301613124 -2*a^3 + a^2 - a + 1
773 20.9035601425564 2*a^3 + a^2 - a - 1
787 22.4818169745235 -a^5 + a^3 - a^2 + 3
797 19.7979246831483 a^3 - a^2 - 2*a + 1
809 19.8259553844565 a^5 - a^4 - a^3 + a + 1
811 22.6099891357586 -a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + 2*a - 1
821 22.1895435311122 -a^6 - a^5 - a^4 - 2*a^2 - 1
823 20.3092685091197 a^6 + a^5 + a^4 - a - 1
829 22.4893750878006 -a^6 - 2*a^4 - a^2 - 1
839 21.8392053718670 a^6 + a^4 + a^3 + 2*a^2 + 1
853 19.6885035175873 a^5 + a^4 + a^3 - a + 1
857 18.6833039238750 a^6 - a^3 - a - 1
859 18.8548593479046 -a^6 + a^3 - a^2 - 1
863 21.9271542427812 -a^6 + a^5 + a^4 - a^3 + a^2 + a - 1
877 22.7571816495450 a^5 + a^2 - a + 3
881 21.5141143197799 a^5 + a^4 + a^2 + 2*a - 1
887 20.9879312544569 a^5 - 2*a^2 - a + 1
907 34.0853186475590 -2*a^6 + 2*a^4 - a^3 - 3*a^2 + 2*a + 3
919 31.9293857373335 -2*a^6 - a^5 - 2*a^4 - 2*a^2 - a - 3
929 29.5730987478160 a^6 + 2*a^5 + a^4 + 2*a^3 + a^2 + 3*a + 3
937 21.6296183810387 a^5 + a^3 - a^2 + 2*a + 1
941 25.0103176359601 -a^5 + a^3 - 2*a^2 - a + 3
947 26.9097341744119 -a^6 - a^5 + 2*a^4 + a^3 - 2*a^2 + a + 1
971 21.0495345464379 a^5 - a^4 + 2*a - 1
977 28.3429661877275 a^5 - a^4 - a^3 + 3*a^2 - 3
983 26.4333554646958 -2*a^5 + a^3 - a^2 - a + 3
991 23.9869987722789 a^6 + a^4 - 2*a^3 + a^2 - a + 1
997 21.8403682843401 a^6 - a^5 - a^4 - a^2 - a + 1

Теперь надо их осмыслить.
Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Мы распечатали сумму абсолютных величин сопряжённых чисел. Если распечатать сами абсолютные величины, то обнаружится, что наборы абсолютных величин могут сильно отличаться друг от друга, а суммы абсолютных величин в наборах мало отличаются друг от друга.

Возьмём $7$ положительных рациональных чисел $r_0, ..., r_6$ (для $n=7$), произведение которых равно $1$.
Сумма $s=r_0 b.abs(i=0)+...+r_6 b.abs(i=6)$ может быть достаточно большой для того, чтобы множество наборов $(x_0, x_1, ..., x_6)$, с суммой $r_0 x_0+...+r_6 x_6<s$, удовлетворяло условиям теоремы Минковского.
Таким наборам коэффициентов $r_0, ..., r_6$ соответствуют наборы сопряжённых чисел $(x_0, ..., x_6)$ (где, скажем, $x_6$ принадлежит интересующему нас идеалу $I$).
Норма $N(x_6)=x_0...x_6$ не больше $(s/n)^{1/n}$ согласно неравенству о среднем геометрическом и среднем арифметическом.
При этом, число $(s/n)^{1/n}$ имеет значение, не меньшее, чем стандартное выражение, зависящее от константы Минковского $M$.
Это значение гораздо больше нужного нам значения нормы $p$.
Но мы получили различные наборы $(x_0, ..., x_6)$.

Продолжение следует.