праведные числа

[maxal]

Назовем натуральное число $n$ праведным, если для каждого натурального $m>6$ запись числа $n$ в $m$-ричной системе счисления не содержит трёх цифр "6" подряд .

Конечно или бесконечно количество праведных чисел?

отсюда

[Руст]

Вероятностные соображения дают, что таких чисел бесконечно, если

$$\prod_{m>6}(1-\frac{1}{m^3})^{1/ln m}>=\frac 1e $$

[maxal]

На каких именно вероятностных предположениях базируется данная оценка?

[Руст]

На независимости вероятности встречи трёх 666 в разных системах исчисления.

[maxal]

Похоже, что эта оценка не совсем точна, даже в предположении о независимости записей числа по различным основаниям.
Например, $\ln m$ - это, как я понимаю, кусок формулы для длины записи числа в $m$-ричной системе счисления, но в этой формуле логарифм стоит под знаком взятия целой части (что-то типа $\lfloor \frac{\ln (n+1)}{\ln m}\rfloor$), и непонятно, как от этой целой части удалось так лихо избавиться? Или же $\ln m$ в этой оценке выступает в другом качестве?

[Руст]

Подсчитываем плотность (вероятность) того что в записи числа x в m- иречиской системе исчисления нет 666. Вероятность равна

$$(1-\frac{1}{m^3})^{\frac{lnx}{ln m}(1+o(1))}.$$

Здесь o(1) учитывает не только целую часть, но и то, что в первых высших разрядах числа х (в соответсвующей окрестности х), не может быть 666, если этого не было в записи самого числа х. Соответственно, если

$$\alpha =-\sum_{m>6} \frac{ln(1-\frac{1}{m^3})}{ln m},$$

то количество праведных чисел M(N) меньших N при больших N асимптотически выражается
$\frac{lnM(N)}{ln N}=\alpha (1+o(1))$.

[maxal]

Руст писал(а):

Соответственно, если

$$\alpha =-\sum_{m>6} \frac{ln(1-\frac{1}{m^3})}{ln m},$$

то количество праведных чисел M(N) меньших N при больших N асимптотически выражается
$\frac{lnM(N)}{ln N}=\alpha (1+o(1))$.

Странности какие-то. Предположим, что таких чисел (или определяемых подобным образом для некоторых других параметров) конечно. Тогда в этой формуле $M(N)$ будет ограничено, и $\alpha$ обязано быть равно нулю. Если же оно не равно нулю, то и $M(N)$ не может быть ограничено. Если так, то зачем тогда вообще нужно сравнение произведения (равного $e^{-\alpha}$) с $\frac{1}{e}$ ? Тут противоречие наблюдается: с одной стороны бесконечность праведных чисел следует из условия $\alpha\ne 0$, а с другой - из условия $\alpha < 1$ (согласно приведенному изначально неравенству).

[Руст]

Опечатка в формуле (пропустил появляющееся поправку при интегрировании). Точнее
$\frac{lnM(N)}{ln N}=(1-\alpha) (1+o(1)), \alpha<1$.