Деление многочленов в кольце

[RrX]

Необходимо доказать, что на любой многочлен типа$f(x) = a_0 + ... + x^d(a_{deg(f(x))}=1)$ можно делить также любой многочлен в некоем кольце $R[x]$. То есть для любого $g(x) = \sum\nolimits b_i x^i, deg(g(x))=n$ существуют такие многочлены $q(x)$ и $r(x)$, что выполняется
$g(x) = f(x)q(x) + r(x)$,
причём $deg(r(x)) < deg(f(x))=d$
При $n \leq d$ всё предельно просто. А вот для $n > d$ доказать не получается.

[Joker_vD]

Столбиком поделите

[Brukvalub]

Из какой алгебраической структуры берутся коэффициенты многочленов?

[RrX]

Brukvalub
произвольное кольцо( с единицей ).

[Brukvalub]

Тогда Joker_vD уже дал вам прекрасный совет - провести конструктивное доказательство, используя деление "уголком". Кстати, это доказательство написано в любом учебнике по высшей алгебре, например, у того же Городенцева.

[RrX]

Brukvalub, спасибо! Нашёл доказательство у Городенцева(осталось ещё разобраться )