неравнобедренные треугольники

[gris]

Возникла потребность придумать интересный необходимый, но не достаточный признак равнобедренности треугольников из школьной планиметрии. Интересность в таком смысле: кроме равнобедренных треугольников этим свойством обладает достаточно узкое подмножество неравнобедренных, желательно один или два (с точностью до подобия). Подумалось о таком:
"В треугольнике некоторая высота равна некоторой медиане и некоторой биссектрисе."
Ясно, что если есть пара, выходящая из одной вершины, то треугольник равнобедренный. Но если все три из разных? Стал решать через построение треугольника по единичной высоте и медиане и произвольной биссектрисе, выходящих из разных вершин. Довольно интересная картинка получается. Для некоторых значений длины биссектрисы существует одно, два или три решения. А вот для единичной биссектрисы только равносторонний треугольник
К сожалению был лишён компьютера и приходилось рисовать чертежи палочкой на песке (интересна степень достаточности признака )
Может быть кто подскажет или напомнит ссылку. Я пока ещё не совсем пришёл в себя.

[TOTAL]

Если треугольник равнобедренный, то найдется высота, разбивающая его на два подобный треугольника.

[gris]

TOTAL, да, это интересный признак. Дополнительно к равнобедренным подходят прямоугольные.

[iancaple]

Если некие высота, медиана и биссектриса, или их продолжения, имеют общую точку, отличную от вершины, то треугольник, увы, равнобедренный
Ой нет, бывают всякие.А именно с пропорцией сторон

$$2k:\left(\frac 1k+1\right):\sqrt{4k^2+\frac 1{k^2}-1}$$

[TOTAL]

Если треугольник равнобедренный, то центр описанной окружности лежит на медиане.