расставить пределы интегрирования в полярных координатах

[Aiyyaa]

Здравствуйте, объясните пожалуйста, как расставлять пределы интегрирования в кратных интегралах в полярной системе координат в порядке $rdrd\varphi$, то есть в том случае, когда $\varphi$ зависел от $r$, и приведите пожалуйста пример такой расстановки, то есть как менять пределы интегрирования при переходе от порядка $rd\varphi dr$
к $rdrd\varphi$.

[arseniiv]

Вы должны представлять себе область, по которой интегрируете, и знать, что кривые вида $r = a$ — окружности, концентрические полюсу, а кривые вида $\varphi = a$ — исходящие из него лучи.

После чего вы пересекаете область кривой с равными значениями одной координаты и смотрите, какие наибольшие и наименьшие значения на этом пересечении у другой. Может не повезти, и пересечение окажется несвязным множеством — тогда надо будет вместо одного интеграла брать два. Иллюстрации:

$\varphi$ зависит от $r$

Вложение:

angles-from-radius.png

$r$ зависит от $\varphi$

Вложение:

radii-from-angle.png

Действия тут абсолютно те же, что и в случае декартовых координат, да и вообще любых криволинейных координат. Специфика вся вверху поста.

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1052405 писал(а):

Здравствуйте, объясните пожалуйста, как расставлять пределы интегрирования в кратных интегралах в полярной системе координат в порядке $rdrd\varphi$, то есть в том случае, когда $\varphi$ зависел от $r$, и приведите пожалуйста пример такой расстановки, то есть как менять пределы интегрирования при переходе от порядка $rd\varphi dr$
к $rdrd\varphi$.

Совершенно не имеет значения, как обозначены переменные, для которых меняется порядок интегрирования. Если Вы умеете порядок $(x,y)$ менять на $(y,x)$, то больше ничего уметь не нужно. С $r$ и $\varphi$ все так же. Требуемую картинку можно рисовать для удобства и в прямоугольной системе координат.

[Munin]

Otta в сообщении #1052443 писал(а):

С $r$ и $\varphi$ все так же. Требуемую картинку можно рисовать для удобства и в прямоугольной системе координат.

С тем только уточнением, что если $r$ и $\varphi$ действительно происходят из полярной системы координат, надо быть осторожным, и ограничить картинку пределами $r>0,\quad 0\leqslant\varphi<2\pi$ (или другой интервал углов длиной $2\pi$).

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052489 писал(а):

Otta в сообщении #1052443 писал(а):

С $r$ и $\varphi$ все так же. Требуемую картинку можно рисовать для удобства и в прямоугольной системе координат.

С тем только уточнением, что если $r$ и $\varphi$ действительно происходят из полярной системы координат, надо быть осторожным, и ограничить картинку пределами $r>0,\quad 0\leqslant\varphi<2\pi$ (или другой интервал углов длиной $2\pi$).

Пришла беда, откуда не ждали!
Munin совсем рассвирепел, то запретил матрицы с отрицательным детерминантом , то сумел ввести объем во всех пространствах , теперь отменил полюс полярной системы координат!
Такими темпами скоро от математики мало что останется...

[Munin]

Комментарий для Otta и ТС (уважаемый Brukvalub в невменяемом состоянии, чтобы вести нормальный диалог):

Я специально обдумал вопрос о включении точки $r=0$ в предлагаемую схему.
- Во-первых, при интегрировании по $r\,dr\,d\varphi$ это включение или исключение не влияет на результат.
- Во-вторых, при изображении области интегрирования на вспомогательном рисунке, специальное внимание к линии $r=0$ может отвлечь на несущественные детали и только зря запутать. Поэтому проще её сразу выбросить.

Жаль, что мне это не пришло в голову и касательно угла, когда я на автомате написал $0\leqslant\varphi<2\pi.$ Можно было бы с тем же успехом и $0<\varphi<2\pi.$

Кроме того, насчёт углов есть другая тонкость, куда большего практического значения. Бывают области в полярной системе координат, ограниченные несколькими линиями, причём одни эти линии соответствуют одному диапазону углов, а другие - другому. Например, $2+\sin(\varphi/2).$ (Здесь нужно указать, что область интегрирования - между внешней и внутренней линиями.)

[Toucan]

Brukvalub, Munin, замечание за личные выпады.

[Otta]

Munin в сообщении #1052489 писал(а):

С тем только уточнением, что если $r$ и $\varphi$ действительно происходят из полярной системы координат, надо быть осторожным, и ограничить картинку пределами $r>0,\quad 0\leqslant\varphi<2\pi$ (или другой интервал углов длиной $2\pi$).

Надо обратить внимание, что согласно стартовому посту, в одном порядке пределы интегрирования уже расставлены. Если так, то эта осторожность будет несколько излишней, - область интегрирования впишется в нужные пределы и без нее.

ТС может убедиться в этом сам.

То же касается и этого примера.

Munin в сообщении #1052527 писал(а):

Бывают области в полярной системе координат, ограниченные несколькими линиями, причём одни эти линии соответствуют одному диапазону углов, а другие - другому. Например, $2+\sin(\varphi/2).$ (Здесь нужно указать, что область интегрирования - между внешней и внутренней линиями.)

[Munin]

Otta в сообщении #1052664 писал(а):

Надо обратить внимание, что согласно стартовому посту, в одном порядке пределы интегрирования уже расставлены. Если так, то эта осторожность будет несколько излишней, - область интегрирования впишется в нужные пределы и без нее.

Я хотел дать не рыбу, а удочку - рецепт на будущее :-)