2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 16:01 


29/05/15
100
Здравствуйте

В теории сказано, что сначала нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость и если соответствующий ряд сходится - то сходится исходный ряд. Если "ряд по модулю" не сходится, тогда нужно использовать признак Лейбница.

В моем случае

$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2^2}+...+{(-1)^{n+1}}\frac{1}{n}\frac{1}{2^n}+...$

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n}\frac{1}{2^n}+...$

$a_n=\frac{1}{n}\frac{1}{2^n}$
$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\frac{1}{2^{n+1}}$

найдем величину по признаку Даламбера как предел отношения $n+1$ члена к $n$ члену при n стремящимся к бесконечности ... а последнее будет равно $\frac{1}{2}$ а это меньше 1... а следовательно ряд сходится

теперь есть какие-то проблески разума?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что такое гармонический ряд и зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
IHmG в сообщении #1051918 писал(а):
скажите, пожалуйста, что в рассуждениях верно, а что - нет

Да, пожалуй, все неверно.
IHmG в сообщении #1051918 писал(а):
второй случай
-- какие здесь "случаи"? Нет их.
IHmG в сообщении #1051918 писал(а):
гармонический ряд,
См. ответ выше.
IHmG в сообщении #1051918 писал(а):
а следовательно признак Лейбница не соблюдается
Здесь два неверных утверждения.
Кстати,
IHmG в сообщении #1051918 писал(а):
В теории сказано, что сначала нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость
И почему ж вы пренебрегли этой возможностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 16:35 


29/05/15
100
ИСН в сообщении #1051920 писал(а):
Что такое гармонический ряд и зачем?


делал по аналогии с методичкой... почитал про гармонический ряд ... вот кстати, попутно хотел ответить на этот же вопрос... я так понял, что Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда

и вот в методичке цитирую

Цитата:
данный ряд является гармоническим и, следовательно, расходится


может конечно там опечатка какая... хотя скорее всего я что-то в контексте не понял :(

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
IHmG в сообщении #1051937 писал(а):
может конечно там опечатка какая

Где? В Вики или в методичке? А какой ряд назван гармоническим в методичке? Ваш на Вики уж точно не похож!

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вот у Ленина написано, цитирую:
Цитата:
Было бы величайшей ошибкой думать

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 17:08 


29/05/15
100
в методичке вот какой ряд был указан
$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}$

кажется до меня дошло... там n в первой степени должны быть... я-то думал что там просто возрастающие натуральные числа в знаменателе должны быть...

всё справедливо. спасибо. благодаря форуму начал думать :) в первом сообщении все исправил.надеюсь в этот раз написал что-то разумное... ?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Так-то лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение09.09.2015, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
IHmG в сообщении #1051918 писал(а):
найдем величину по признаку Даламбера

Можно просто признак сравнения использовать. Отбросить $n$ в знаменателе, останется в чистом виде геометрическая прогрессия. Но ваш способ тоже нормальный.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение10.09.2015, 06:26 


29/05/15
100
provincialka в сообщении #1051978 писал(а):
Можно просто признак сравнения использовать. Отбросить $n$ в знаменателе, останется в чистом виде геометрическая прогрессия.

на каком основании можно отбросить $n$ в знаменателе? причем тут геометрическая прогрессия?

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение10.09.2015, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
IHmG в сообщении #1052167 писал(а):
на каком основании можно отбросить $n$ в знаменателе?

Курите признаки сравнения.
IHmG в сообщении #1052167 писал(а):
причем тут геометрическая прогрессия?

Повторите определение геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость знакопеременного ряда
Сообщение10.09.2015, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
IHmG в сообщении #1052167 писал(а):
на каком основании можно отбросить $n$ в знаменателе?

Ну, это я образно выразилась. Что произойдет с дробью, если в знаменателе убрать $n$?

Вообще, умение применять признаки -- вещь достойная. Но желательно научиться "чувствовать" поведение ряда. А уж потом доказывать. Для рядов с положительными членами важно, чтобы слагаемые были достаточно маленькими, быстро убывали. При этом надо помнить, что геометрическая прогрессия убывает гораздо быстрее, чем $\frac1{n^p}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group