сходимость знакопеременного ряда

[IHmG]

Здравствуйте

В теории сказано, что сначала нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость и если соответствующий ряд сходится - то сходится исходный ряд. Если "ряд по модулю" не сходится, тогда нужно использовать признак Лейбница.

В моем случае

$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2^2}+...+{(-1)^{n+1}}\frac{1}{n}\frac{1}{2^n}+...$

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n}\frac{1}{2^n}+...$

$a_n=\frac{1}{n}\frac{1}{2^n}$
$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\frac{1}{2^{n+1}}$

найдем величину по признаку Даламбера как предел отношения $n+1$ члена к $n$ члену при n стремящимся к бесконечности ... а последнее будет равно $\frac{1}{2}$ а это меньше 1... а следовательно ряд сходится

теперь есть какие-то проблески разума?

[ИСН]

Что такое гармонический ряд и зачем?

[provincialka]

IHmG в сообщении #1051918 писал(а):

скажите, пожалуйста, что в рассуждениях верно, а что - нет

Да, пожалуй, все неверно.

IHmG в сообщении #1051918 писал(а):

второй случай

-- какие здесь "случаи"? Нет их.

IHmG в сообщении #1051918 писал(а):

гармонический ряд,

См. ответ выше.

IHmG в сообщении #1051918 писал(а):

а следовательно признак Лейбница не соблюдается

Здесь два неверных утверждения.
Кстати,

IHmG в сообщении #1051918 писал(а):

В теории сказано, что сначала нужно исследовать ряд на абсолютную сходимость

И почему ж вы пренебрегли этой возможностью?

[IHmG]

ИСН в сообщении #1051920 писал(а):

Что такое гармонический ряд и зачем?

делал по аналогии с методичкой... почитал про гармонический ряд ... вот кстати, попутно хотел ответить на этот же вопрос... я так понял, что Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда

и вот в методичке цитирую

Цитата:

данный ряд является гармоническим и, следовательно, расходится

может конечно там опечатка какая... хотя скорее всего я что-то в контексте не понял :(

[provincialka]

IHmG в сообщении #1051937 писал(а):

может конечно там опечатка какая

Где? В Вики или в методичке? А какой ряд назван гармоническим в методичке? Ваш на Вики уж точно не похож!

[ИСН]

Вот у Ленина написано, цитирую:

Цитата:

Было бы величайшей ошибкой думать

[IHmG]

в методичке вот какой ряд был указан
$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}$

кажется до меня дошло... там n в первой степени должны быть... я-то думал что там просто возрастающие натуральные числа в знаменателе должны быть...

всё справедливо. спасибо. благодаря форуму начал думать :) в первом сообщении все исправил.надеюсь в этот раз написал что-то разумное... ?

[ИСН]

Так-то лучше.

[provincialka]

IHmG в сообщении #1051918 писал(а):

найдем величину по признаку Даламбера

Можно просто признак сравнения использовать. Отбросить $n$ в знаменателе, останется в чистом виде геометрическая прогрессия. Но ваш способ тоже нормальный.

[IHmG]

provincialka в сообщении #1051978 писал(а):

Можно просто признак сравнения использовать. Отбросить $n$ в знаменателе, останется в чистом виде геометрическая прогрессия.

на каком основании можно отбросить $n$ в знаменателе? причем тут геометрическая прогрессия?

[Brukvalub]

IHmG в сообщении #1052167 писал(а):

на каком основании можно отбросить $n$ в знаменателе?

Курите признаки сравнения.

IHmG в сообщении #1052167 писал(а):

причем тут геометрическая прогрессия?

Повторите определение геометрической прогрессии.

[provincialka]

IHmG в сообщении #1052167 писал(а):

на каком основании можно отбросить $n$ в знаменателе?

Ну, это я образно выразилась. Что произойдет с дробью, если в знаменателе убрать $n$?

Вообще, умение применять признаки -- вещь достойная. Но желательно научиться "чувствовать" поведение ряда. А уж потом доказывать. Для рядов с положительными членами важно, чтобы слагаемые были достаточно маленькими, быстро убывали. При этом надо помнить, что геометрическая прогрессия убывает гораздо быстрее, чем $\frac1{n^p}$.