Найти длину стороны треугольника

[KPEHgEJIb]

В треугольнике $ABC$ известны стороны $BC=a$, $AC=b$, а величина угла $BAC$ вдвое больше величины угла $ABC$. Найти длину третьей стороны треугольника.


Провёл медиану $l$, которая делит угол $BAC$ пополам.

1. $S ABC=\frac{ca\sin{x}}{2}$
2. Рассмотрим треугольник $ABK$: По т. косинусов:
$l^2 = c^2+l^2-2cl\cos{x}$
$l=\frac{c}{2\cos{x}}$

3. $S ABC=S AKC+S AKB$
4. $S AKB=\frac{c^2}{4}\tan{x}$

А вот выразить площадь треугольника $AKC$ через $c$ и $l$ не выходит.

[asinistroso]

А зачем её через $c$ и $l$ выражать, если можно через $l$, $b$ и тангенс $x$ выразить?

[KPEHgEJIb]

asinistroso, я не выражаю через $B$ потому что в площади треугольника $ABC$ не используется переменная $b$.

[asinistroso]

Ну и пусть не используется
Главное - она нам по условию задачи известна
как бы по условию задачи, $a$ и $b$ - это не переменные, это константы.
Переменные как раз $x$, $l$ и $c$ (последнюю как раз надо выразить через $a$ и $b$)

[KPEHgEJIb]

asinistroso, действительно. Что-то меня переклинило, что надо выразить используя только $a$
Сейчас перерешаю.

Добавлено спустя 22 минуты 51 секунду:

[bekas]

Однако, медиана делит сторону пополам. Биссектриса, однако, делит угол пополам...

[Brukvalub]

Треугольник АВК - равнобедренный, а далее нужно использовать теорему о том, как биссектриса делит противолежащую углу сторону.

[нг]

Сообщение bekas удалено:

1) Правила форума запрещают помещать полное решение.

2) Правила форума указывают, как следует набирать формулы.

[bekas]

Какое же оно полное, если там корень квадратный ошибочно был записан!?

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

Пожалуйста, вот вам неполное решение и без формул:

Проведем биссектрису (не медиану) угла A. Она пересекает сторону BC в точке K и делит ее на части BK и KC, пропорциональные c и b. Кроме того, треугольник AKC подобен треугольнику BAC, так как угол C у них общий, а угол CAK равен углу B. Отсюда легко получить длину c...

[нг]

bekas, давайте не будем пререкаться на форуме. Про это тоже есть в правилах.

Мне, видите-ли, вообще ничего не надо. А KPEHgEJIb учится, когда ему ответами не мешают.

[rdes]

Да этож задача в одно действие:)
Чему равен третий угол треугольника??)
Теорему косинусов знаем? Вот и все решение..

[Brukvalub]

rdes писал(а):

Чему равен третий угол треугольника??)

Интересно, чему он равен?

[KPEHgEJIb]

Brukvalub,
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

$\frac{l}{a}=\frac{c}{b}$
$l=\frac{ac}{b}$

$\frac{c}{2\cos{x}}=\frac{ac}{b}$
$c=\frac{ac\cos{x}}{b}$

Если считать через площади, то всё-равно не удаётся избавиться от $c$ в правой части.

[rdes]

Аааа... сорри
У меня он равен

$$ 180 - 3x $$

А само-то значение не дано( Ошибся, извините.

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

Ну тогда в дополнение к моему посту:
используя теорему косинусов, получено:

$$ c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos 3x $$

Далее, пользуемся теоремой синусов и упрощая, имеем:

$$ \cos x = \frac{a} {{2b}} $$

Дальше, только подставляем полученный косинус.. поскольку

$$ \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x $$

[Brukvalub]

Обозначаем КС за х. Имеем:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{l}{x} = \frac{c}{b}} \\ {l^2 = bc - lx} \\ \end{array}} \right. \]

Дальше справитесь.