Предел функции в точке определение

[Ward]

Здравствуйте!

Читаю книжку У.Рудина по матанализу на английском языке.

Он рассматривает два метрических пространства $(X, d_X)$ и $(Y, d_Y)$. Пусть $E$ -- некоторое подмножество $X$ и $p$ -- предельная точка множества $E$ и $f(X)\subset Y$. Затем пишет определение предела функции в точке. Мы говорим что

$$\lim \limits_{x\to p}f(x)=q$$

если существует $q\in Y$ такое, что для всякого $\varepsilon >0$ существует $\delta>0$ что $d_Y(f(x),q)<\varepsilon$ для всякого $x\in E$ такого что $0<d_X(x,p)<\delta$.

Возникают следующие вопросы.
1) почему он рассматривает случай когда $p$ -- предельная точка множества $E$?
Ну пусть она не является предельной, тогда есть некоторая ее проколотая окрестность, что она не имеет общих точек с $E$. И что?

2) Почему $0<d_X(x,p)$? Если скажем $0=d_X(x,p)$ то $x=p$. И все равно непонятно.

Я был признателен тем, кто бы помог мне.

[Otta]

Ward в сообщении #1051646 писал(а):

2) Почему $0<d_X(x,p)$? Если скажем $0=d_X(x,p)$ то $x=p$. И все равно непонятно.

Непонятно, что непонятно. Для предела важно изменение функции в проколотой окрестности точки. Значение функции в самой точке на него не должно иметь влияние. Вот ее и исключили.

Ward в сообщении #1051646 писал(а):

1) почему он рассматривает случай когда $p$ -- предельная точка множества $E$?

А как Вы будете в изолированной смотреть? Ну пусть $E=\{0\}$. Пусть $f(0)=1$. Как определять, чему равен предел при $x\to 0$, если при этом нужно смотреть на значения функции в проколотой окрестности нуля?
Предел всегда определяется в предельной точке множества.

[Ward]

Otta
2) Ну почему значение функции в самой точке не имеет значения никакого?

-- 08.09.2015, 21:07 --

Вы не ответили на вопрос. ну если $d_X(x,p)=0$ тогда $x=p$. И что?

[Otta]

Почему же не имеет. Может, имеет, а может, нет. Но пределу на него наплевать. Разве нет?

Пусть $ f(x)=\begin{cases} 0, &\text{если }x \ne 0;\\1, &\text{если } x=0.\end{cases}$

Отличаются ли $\lim_{x\to 0} f(x)$ и $\lim_{x\to 0} 2f(x)$?

-- 08.09.2015, 22:16 --

Ward в сообщении #1051651 писал(а):

Вы не ответили на вопрос. ну если $d_X(x,p)=0$ тогда $x=p$. И что?

Нет, это Вы его не задали. )) И ничего. А что Вас интересует?

[Ward]

Otta
Спасибо что уделяете время!
меня немного смущает почему рассматривается проколотая окрестность? Извините если вопрос глупый, просто хочу понять.

-- 08.09.2015, 21:20 --

Нет не отличаются. А зачем вы добавили константу 2? что-то я не понял смысл вопроса.

[Otta]

По определению ) спокон веку так. )) Какой учебник был у Вас на первом курсе? там тоже так. Посмотрите два предела выше. Чему равен каждый из них?

-- 08.09.2015, 22:23 --

Ward в сообщении #1051654 писал(а):

Нет не отличаются. А зачем вы добавили константу 2? что-то я не понял смысл вопроса.

А потому что в точке $x=0$ эти функции отличаются. Вдвое. Но как видите, даже на интуитивном уровне, Вы это игнорируете. Почему? Как этого достичь строго? рассматривать базу проколотых окрестностей точки.

[Ward]

оба предела равны нулю!
Но значение в нуле у первой 1, а у второй 2.

-- 08.09.2015, 21:31 --

Otta
Теперь немного понял! Спасибо Вам. но это правда немного непонятно.
я университет окончил. просто решил кое-какие непонятные моменты заново начать

[Dan B-Yallay]

Ward в сообщении #1051654 писал(а):

меня немного смущает почему рассматривается проколотая окрестность?

Потому, что предел - это то к чему приближается функция, при приближении аргумента к предельной точке. А в самой предельной точке функция может даже не быть определенной.

[Slav-27]

Ward
Если поняли, то вот вам вопрос на засыпку: что будет, если заменить-таки в определении $0<d_X(x,p)<\delta$ на $0\leqslant d_X(x,p)<\delta$?

Получится тоже довольно любопытная штука.

[Ward]

ну добавляется точка $x=p$. Но что такого в этом? Может сами ответите и я бы понял

[Slav-27]

Ну подумайте, это несложно.

Советую думать так: вот у нас были какие-то требования к точке $q$, при выполнении которых мы согласны были считать точку $q$ пределом $\lim \limits_{E\ni x\to p}f(x)$. Если мы будем рассматривать непроколотые окрестности вместо проколотых, то мы тем самым ужесточим требования к точке $q$. Что именно нового мы от неё таким образом потребуем?