Уравнение

[Edward_Tur]

Докажите, что для произвольных различных простых чисел $p$ и $q$ уравнение
$x(x+1)=pq(x-y)$
а) имеет ровно два решения в натуральных числах $(x,y)$;
б) в обоих решениях значения $y$ одинаковы.

[maxal]

Из того, что $(x,x+1)=1$ и $x-y<x$ следует, что исходное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases}x=pa,\\ x+1=qb,\\ ab<x,\end{cases}$$

где $a=(x,x-y)$ и $b=(x+1,x-y)$, или аналогичной системе с заменой $p$ на $q$ и $q$ на $p$.
Заметим, что из неё следует, что
$x(x+1)=pqab<pqx$
или
$x < pq - 1.$

Пусть $x\equiv c\pmod{pq}$, где $0\leq c<pq$, - это решение системы сравнений

$$\begin{cases}x\equiv 0\pmod {p},\\ x\equiv -1\pmod{q}.\end{cases}$$

Заметим, что $p$ здесь делит $c$, а $q$ делит $c+1$, и следовательно $(p-1)q-1\leq c\leq p(q-1)$.
Как нетрудно видеть, для "аналогичной" системы сравнений решением будет $x\equiv c'\pmod{pq}$, где $c'=pq - c - 1$. Здесь также выполняется аналогичное неравенство: $(q-1)p-1\leq c'\leq q(p-1)$.

Тогда решением исходной системы может быть только $x=c$, так как все остальные решения полученного сравнения больше $pq$.

Итак, решением нашей системы является:
$x=c$, $a=\frac{c}{p}$, $b=\frac{c+1}{q}$ и $y=c - \frac{c(c+1)}{pq}=\frac{pqc - c(c+1)}{pq}=\frac{cc'}{pq}$
и для "аналогичной" системы соответственно:
$x'=c'$, $y'=\frac{cc'}{pq}=y.$

[Зангези]

Если $p$ и $q$ - простые-близнецы, то можно найти точные решения уравнения: пусть $p < q$, тогда $(x_1, y_1) = \left(\frac {q \cdot (p-1)} 2, \frac {(p-1) \cdot (q+1)} 4\right)$ и $(x_2, y_2) = \left(\frac {p \cdot (q+1)} 2, \frac {(p-1) \cdot (q+1)} 4 \right)$.