Непонятное условие, теория вероятностей

[kp9r4d]

У меня в домашней работе такое условие задачи:
Случайный процесс $x(t)$ имеет мат.ожидание $m_x(t)=0$ и корреляционную функцию $K_x(t,t')= \frac{1}{(t-t')^2 + 1}$; $\forall t E | x(t) | < \infty$; случайный процесс $y(t) = \int_0^t x(s) ds$. Найти $m_y(t), K_y(t,t')$.
Я сколько не думал, никак не могу понять вот этого обозначения $\int_0^t x(s) ds$ ведь $x$ по сути, имеет «тип» $\mathbb{R} \to (\Omega \to \mathbb{R})$ тобишь это функционал, а $x(s) : \Omega \to \mathbb{R}$ функция, что такое интеграл по подобным штукам я не понимаю. Решать задачу не нужно, только объяснить этот момент, заранее спасибо.

[Otta]

$s$ - время. $x$ - случайная величина при фиксированном его значении.

[kp9r4d]

Это как раз я понял, но что значит $\int_0^t x(s) ds$? Иначе: как проинтегрировать функцию у которой область значений — множество функций? Из курса теории меры я научился интегрировать, максимум что, комплекснозначные функции, а что значит интеграл по «функциозначной» функции?

[Otta]

Попробуйте писать все аргументы.
$y(\omega,t)=\int_0^t x(\omega,s) \; ds$. Обычный интеграл с параметром.

[kp9r4d]

Да, так понятно, спасибо.

[Brukvalub]

Кстати, все прекрасно гуглится по словам "интеграл от случайного процесса".

[kp9r4d]

Да, уже нагуглил, дополнительный вопрос: не должно ли оговариваться, что $x(\omega,t)$ непрерывна по $t$ (хотя бы почти всюду)? На лекциях этого не было как части определения.

-- 06.09.2015, 22:20 --

Иначе возникают вопросы о существовании интеграла.

Otta в сообщении #1051100 писал(а):

$y(\omega,t)=\int_0^t x(\omega,s) \; ds$.

[Brukvalub]

Не понял. Обычно речь идет о сходимости соответствующих частичных сумм в среднеквадратичном, при чем здесь непрерывность?

[kp9r4d]

Так работать по определению Otta или по вашему? Или как лектор сказал (а он ничего не сказал)?

[Otta]

Excuse me, я, собссно, ничего не определяла. Вы запросили пояснений к объекту - я пояснила. А строго определяется интеграл обычно как предел интегральных сумм в с-к, отчего не перестает быть случайным процессом, зависящим от $(\omega, t)$, - кажется, проблемы были с этим.
Непрерывность в с-к более жесткое условие.

[kp9r4d]

Otta в сообщении #1051125 писал(а):

Непрерывность в с-к более жесткое условие.

Окей, спасибо, мне просто понять важно: без дополнительных допущений о (какой-либо) непрерывности по $t$ вообще говоря нельзя просто брать так и определять $y(t) = \int_0^t x(s) ds$, ведь так?

[Otta]

kp9r4d в сообщении #1051126 писал(а):

без дополнительных допущений о (какой-либо) непрерывности по $t$ вообще говоря нельзя

Вообще говоря нельзя. Но у Вас так вышло (лектор коварен), что процесс непрерывен в среднем квадратическом. Соответствующий критерий выполняется. Посмотрите, может, как раз критерий и был. Трудно сказать заочно, что было, что не было.

[kp9r4d]

Да я, в принципе, привык большей частью учиться самостоятельно, поэтому хотелось бы узнать о каком критерии речь и где можно о нём почитать, просто в том же Гнеденко интегралы от случайных процессов вообще не затрагиваются.

[Otta]

СП непрерывен в ск если и только если его матожидание непрерывно и корреляционная функция непрерывна на диагонали $t=t'$ (т.е. непрерывна дисперсия случайного процесса). Все, больше учебником не работаю, могу и наврать что-нить, а я это не люблю.

В Волкове точно есть, у Боровкова. Да и у Вентцель наверняка.

[kp9r4d]

Спасибо!