В общем виде задача легко решается, если брать только функции, монотонные по всем аргументам. Допустим, разрешены операции

арностей

и монотонно возрастающие/убывающие по

-му аргументу при

. Обозначим

максимум/минимум при

, который можно получить из

единиц с помощью операций

. Также

при

.
После недолгого раздумья выкинем унарные и нульарные операции, и единственной нульарной поставим единицу. С учётом этого,
![$$
Y^\mu(n) = \operatorname{m}^\mu\left\{
f\sigma : f\in F, \lvert\sigma\rvert = \alpha f = N, \bigwedge_{i=1}^N\sigma_i = Y^{\mu\mu_i f}(n_i), n = [f=1] + \sum_{i=1}^N n_i
\right\},
$$ $$
Y^\mu(n) = \operatorname{m}^\mu\left\{
f\sigma : f\in F, \lvert\sigma\rvert = \alpha f = N, \bigwedge_{i=1}^N\sigma_i = Y^{\mu\mu_i f}(n_i), n = [f=1] + \sum_{i=1}^N n_i
\right\},
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/b/6eb5fe00bd81f83e11224725515d557c82.png)
т. е. достаточно просто. Немонотонные по аргументам операции сводят задачу к скучному перебору, потому рассматривать их я не буду.
-- Сб сен 05, 2015 21:41:16 --М-да,

нормально не выражается. Если сделать это семейством унарных операций

, где

— число единиц, получим фикс
![$$
Y^\mu(n) = \operatorname{m}^\mu\left\{
f\sigma : f\in F, \lvert\sigma\rvert = \alpha f = N, \bigwedge_{i=1}^N\sigma_i = Y^{\mu\mu_i f}(n_i), n = [f=1] + \sum_{i=1}^n [f=\mathrm b_i]i + \sum_{i=1}^N n_i
\right\}.
$$ $$
Y^\mu(n) = \operatorname{m}^\mu\left\{
f\sigma : f\in F, \lvert\sigma\rvert = \alpha f = N, \bigwedge_{i=1}^N\sigma_i = Y^{\mu\mu_i f}(n_i), n = [f=1] + \sum_{i=1}^n [f=\mathrm b_i]i + \sum_{i=1}^N n_i
\right\}.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/f/aafd7b49553639e7729c7560b089705482.png)