Полукруг в треугольнике.

[KPEHgEJIb]

В треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$ и $AC=b$ и углом $a$ между ними вписан полукруг с диаметром, лежащим на стороне, противоположной этому углу. Найти радиус полукруга.



Пытаюсь связать с площадью.
$S {ABC}=\frac{ab\sin{a}}{2}$

Но вот что делать с этим полукругом? Тут и не вписанная, и не описанная окружность. За что зацепиться?

[rdes]

Вроде так...
Проводим из вершины C биссектрису. Центр Вашей окружности совпадет с точкой пересечения биссектрисы и стороны AB. (Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисах). Пусть будет это точка M. Из нее проводим к сторонам треугольника радиусы в точку касания. Осталось только расписать площадь треугольника через сумму площадей полученных треугольников

[bekas]

Как справедливо отметил rdes, биссектриса угла A проходит
через центр вписанного полукруга. Поэтому достаточно найти длину
этой биссектрисы (L), чтобы потом легко получить R = L * sin(A/2).

S = a*b*sin(A)/2 = (a*L*sin(A/2)+b*L*sin(A/2))/2,
откуда L = 2*a*b*cos(A/2)/(a+b).

Окончательно, R = a*b*sin(A)/(a+b).

[venja]

Можно сделать так.

Отразить весь рисунок относительно АВ.
Получим четырехугольник, в который вписана окружность.

Для таких изветна формула (как и для треугольника

$S=p\cdot r$,

где участвуют площадь четырехугольника, его ПОЛУпериметр и радиус вписанной окружности. Дальше очевидно.

[rdes]

Да, именно так..
А я предложил через площади:

$$ \frac{1} {2}ab\sin \alpha = \frac{1} {2}ar + \frac{1} {2}br $$

где r - радиус полуокружности.
Откуда:

$$ ab\sin \alpha = r(a + b) $$

Ответы, естественно, совпадают..

[KPEHgEJIb]

Всем спасибо . На мой взгляд, способ, который предложил venja самый простой. Но именно методы решения rdes и bekas я хотел потренировать.
Как всё просто оказывается когда объясняют