Двойная сумма тригонометрических функций

[Pumpov]

Привет.

Есть двойная бесконечная сумма, состоящая из произведения величин вида

$ S = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_m \varepsilon_n f(m,n) \cos (\alpha_m x) \cos(\beta_n y)$.

Нужно взять вторые производные и записать результат в виде рядов.

Верно ли, что

$\frac{\partial^2 S}{\partial x^2} = - \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_m \varepsilon_n f(m,n) \alpha^2_m \cos (\alpha_m x) \cos(\beta_n y) $,

$\frac{\partial^2 S}{\partial y^2} = - \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_m \varepsilon_n f(m,n) \beta^2_n \cos (\alpha_m x) \cos(\beta_n y) $,

и

$$\frac{\partial^2 S}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 S}{\partial y^2} = - \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_m \varepsilon_n f(m,n) (\alpha^2_m + \beta^2_n) \cos (\alpha_m x) \cos(\beta_n y)$

?

[ex-math]

В общем случае неверно. Нужно знать кое-что об этих рядах дополнительно.

[Pumpov]

ex-math в сообщении #1050005 писал(а):

В общем случае неверно. Нужно знать кое-что об этих рядах дополнительно.

А в частном? Пусть предполагается, что производные от ряда сходятся к производной самой функции, которую раскладывают.

[ex-math]

Тогда верно. Если предположить, что ряд допускает почленное дифференцирование, то его можно будет почленно дифференцировать.