Puzzle 798: Простые суммы простых чисел

[Vovka17]

dimkadimon в сообщении #1049472 писал(а):

Спросил у Carlos почему он не показывает ответы. Оказывается кроме меня ему никто не прислал ответы и поэтому ему нечего показывать! Друзья посылайте ему свои находки иначе мы никогда не узнаем результаты...

Мне ответил вчера: "Thank you. These will be added next edition of my pages, next saturday." А пока можно ещё покопаться в простых числах.

dimkadimon в сообщении #1049472 писал(а):

Я тоже нашел 5 девяток, интересно насколько они совпадают с вашими. Думал что десятки рядом, но они так и не появились. У меня даже чувство что чем больше $i$ тем реже хорошие решения и поэтому десятки сложно найти.

Конечно, чем больше $i$, тем решения будут реже, ведь простые всё реже и реже. Но количество этих решений $g(n,i)=x$ ничем не ограниченно для любого $x\geqslant0$.

[dimkadimon]

Vovka17 в сообщении #1049613 писал(а):

Но количество этих решений $g(n,i)=x$ ничем не ограниченно для любого $x\geqslant0$.

А вы можете это доказать?

[Vovka17]

dimkadimon в сообщении #1049614 писал(а):

Vovka17 в сообщении #1049613 писал(а):

Но количество этих решений $g(n,i)=x$ ничем не ограниченно для любого $x\geqslant0$.

А вы можете это доказать?

Вероятность того, что $f(n,i)$ (смотрите на это, как на случайное число) - простое, понижается с ростом $f$. Вероятность того, что $g(n,i)$ - простое, равна произведению вероятностей того, что $f(n,i), f(n,i+1), f(n,i+2), ...$ - простые, и она понижается ещё быстрее, чем для $f(n,i)$, но никогда не станет равной нулю, ведь простые числа, хоть и редко, но продолжают встречаться .
Тем интереснее найти десятку!

[dimkadimon]

Vovka17 в сообщении #1049615 писал(а):

Вероятность того, что $f(n,i)$ (смотрите на это, как на случайное число) - простое, понижается с ростом $f$. Вероятность того, что $g(n,i)$ - простое, равна произведению вероятностей того, что $f(n,i), f(n,i+1), f(n,i+2), ...$ - простые, и она понижается ещё быстрее, чем для $f(n,i)$, но никогда не станет равной нулю, ведь простые числа, хоть и редко, но продолжают встречаться .
Тем интереснее найти десятку!

Согласен, но возможно ли то что вероятность $g(n,i) \geq x$ для некоторых $x$ становится настолько низкой что ефективно равна нулю?

[dmd]

dimkadimon
Отличный результат! Согласитесь, приятно наблюдать, когда новая последовательность на твоих глазах разворачивается.

Цитата:

но возможно ли то что вероятность $g(n,i) \geq x$ для некоторых $x$ становится настолько низкой что ефективно равна нулю?

Конечно. Ведь для $g=100$ для нас вероятность найти всё равно что ноль, хоть она и не ноль.

[dimkadimon]

Кстати для "неправильной" задачи есть четверка для $n=5$:

$p(12026619)+ p(12026620)+p(12026621)+p(12026622)+p(12026623)=p(55219174),$
$p(12026620)+ p(12026621)+p(12026622)+p(12026623)+p(12026624)=p(55219175),$
$p(12026621)+ p(12026622)+p(12026623)+p(12026624)+p(12026625)=p(55219176),$
$p(12026622)+ p(12026623)+p(12026624)+p(12026625)+p(12026626)=p(55219177).$

[Vovka17]

На ночь зарядил пару компьютеров на обсчет основной задачи... Нашел ещё 2 девятки!
По моим прикидкам одна из 10-12 девяток будет десяткой.

[dmd]

Не факт. Сколько двоек перед первой тройкой? Сколько троек перед первой четвёрткой? ... Сколько восьмёрок перед первой девяткой?

[Vovka17]

Предполагаю, что вероятность встретить решение следующего уровня не зависит от уровня, а зависит только от значений сумм $f(n,i)$.
Другими словами, вероятность того, что сумма $f(n,i)=x \in \mathbb{P}$, равна

$$P(x \in \mathbb{P})=\frac{2}{gmid_x}$$

где $\mathbb{P}$ - множество всех простых чисел,
$gmid_x$ - средний интервал между простыми числами в "окрестности" $x$.
Как указывалось ранее, вероятность того, что $g(n,i)$ - простое, равна произведению вероятностей того, что $f(n,i), f(n,i+1), f(n,i+2), ...$ - простые. Следовательно, понижение вероятности нахождения решения следующего уровня не зависит от уровня.

[Vovka17]

dmd в сообщении #1050081 писал(а):

Сколько двоек перед первой тройкой? Сколько троек перед первой четвёрткой? ... Сколько восьмёрок перед первой девяткой?

Это не имеет значения. Вы можете только начать искать и сразу попасть на десятку!
Так же, как человек никогда не игравший в лотерею, сорвать с первой попытки джекпот.
Имеет значение только: во сколько раз двоек больше, чем троек? во сколько раз троек больше, чем четверок? ... во сколько раз восьмерок больше, чем девяток?
Я предположил, что в одинаковое число раз больше, независимо от порядка.
(Статистику я не собирал - лень что-то).

[dimkadimon]

Допустим $P(x)$ вероятность того что $x$ простое. $P(x) \approx 1/log(x)$ от http://math.stackexchange.com/questions ... eing-prime

Тогда $P(f(n,i))=P(i+(i+1)+\ldots+(i+n-1)) \approx P(n*i)$. Вероятность того что $g(n,i) \geq 9$: $P(f(n,i))*P(f(n,i+1))*\ldots*P(f(n,i+8)) \approx P(n*i)^9$.
Вероятность того что $g(n,i) \geq 10$: $ \approx P(n*i)^{10}$. Вероятность уменьшилась на $P(n*i) \approx n/log(i)$.

[dimkadimon]

dimkadimon в сообщении #1050337 писал(а):

Вероятность уменьшилась на $P(n*i) \approx n/log(i)$

Тут ошибка. Должно быть $P(n*i) \approx 1/log(n*i)$.

[Vovka17]

Ещё правильнее (применительно к нашей задаче), в числителе поставить двойку:

$$P(p_n*i) \approx \frac{2}{\ln(p_n*i)}$$

Ведь наши суммы заведомо нечетные.

[dimkadimon]

Vovka17 в сообщении #1050401 писал(а):

Ещё правильнее (применительно к нашей задаче), в числителе поставить двойку:

Верно. Еще более точнее:

$$P(f(n,i)) \approx P(n*p_i) \approx \frac{2}{\ln(n*p_i)}.$$

[Nataly-Mak]

Vovka17 в сообщении #1049613 писал(а):

Мне ответил вчера: "Thank you. These will be added next edition of my pages, next saturday."

Vovka17
поздравляю! Ваши результаты опубликованы

g(57,754426)=9;
g(41,803278)=9;
g(307,2096506)=9;
g(97,4785746)=9;
g(355,7674053)=9;
g(6979,57208)=9;
g(9179,73999)=9;
g(11791,46206)=9.

(Оффтоп)

Пользуясь случаем...
в мою проблему загляните, пожалуйста
http://www.primepuzzles.net/problems/prob_062.htm
вдруг и она понравится
И конкурс ожидается, прямо очень давно уже ожидается но веб-мастер ice00 в отпуск ушёл и пришлось отложить начало. Сейчас он уже вернулся. Думаю, что скоро начнём.