1. Сколько книг/статей нужно изучить выпускнику мехмата или аналогичного факультета сверх вузовского курса, прежде чем он сможет писать актуальные работы?
Хороший и сильный руководитель может подкинуть задачку, для которой достаточно нескольких глав из книг и скольки-то статей (начиная от двух). Это, конечно, достаточно условно всё, но я просто знаю такие случаи.
2. Сколько времени Вы тратите на знакомство с литературой? Много ли литературы за это время успеваете просмотреть?
Это у всех по-разному. Одни люди пытаются максимально понять сами, другие начинают работу над задачей с того, что пробегут по диагонали 20 статей по теме или в поисках ответа на возникший вопрос. Лучше всего уметь оба способа и выбирать более подходящий.
3. Проверяете ли Вы доказательства теорем, которые используете? Имеются в виду, конечно, не теоремы учебного курса, а сравнительно недавно опубликованные в научных статьях. Примерные варианты: проверяю досконально, просматриваю по диагонали, верю на слово как дворянин дворянину, другой вариант.
В идеале хорошо бы проверять все доказательства, используемые в основном результате статьи. Но жизнь бывает слишком коротка для этого. Как вариант, можно принять результат на веру, если он 1) интуитивно ожидаем 2) написан автором с хорошей репутацией 3) проверенный одним или несколькими людьми, которым ты доверяешь.
Единственное, что хотел бы предостеречь от доверия одному только рецензенту и имени журнала. Рецензент, в принципе, не обязан досконально проверять доказательство.
Насколько часто бывает, что рядовой математик кардинально меняет область исследования? То есть занимался, скажем, теорией групп, сделал несколько актуальных работ, а потом занялся теорией чисел, и тоже начал писать актуальные работы? Я подчеркиваю, что речь идет именно о рядовых математиках, уровень филдсовских лауреатов пока оставим в покое.
Ну конкретно из теории групп в теорию чисел возможны даже и очень плавные переходы (потому что есть области, лежащие на стыке, арифметические группы и т. п.). Но и по существу вопроса -- бывает, но не могу сказать количественно, насколько часто. Типичные ситуации: 1) Человек перешёл из Pure в Applied 2) Человек занимался какой-то жутко абстрактной областью, ему надоело, он стал заниматься чем-то более приземлённым (но не настолько приземлённым, чтобы подходить под пункт 1. 3) Человек занимался чем-то в аспирантуре, написал несколько работ (и параллельно читал книжки и ходил на спецкурсы), сделал себе какое-то имя и использовал его как трамплин, чтобы заняться чем-то более интересным для него в другом месте.
Поскольку занятия математикой в 90% случаев связаны со сменой университетов несколько раз за карьеру, часто бывают подходящие моменты, чтобы сменить область или хотя бы попробовать новую область.
Или другой пример: допустим, некая теорема была доказана сначала для четных чисел, а потом – для всех чисел, причем это доказательство не опиралось (это важно!) на доказательство для четных чисел. Получается, что знакомиться с доказательством для четных чисел больше не нужно.
В доказательстве только для чётных чисел могла содержаться какая-то идея, которой нет в доказательстве для всех чисел и которая, возможно, могла бы быть использована где-то ещё. Поэтому не факт, что доказательство для чётных чисел вообще бесполезно.
Вот меня интересует, насколько часто происходят такие обобщения или упрощения.
Ну... опять же, довольно типичная ситуация. Хотя обычно всё-таки автор старается вместе с упрощением старого доказательства доказать что-то ещё новое дополнительно. Но такие работы ценятся, даже если упрощение чего-то старого является единственным интересным результатом. Ну и вообще, мне кажется, что математика может выиграть, если баланс временно сместится в сторону понимания уже сделанного по сравнению с погоней за новыми результатами.
Насчет упрощения все, думаю, понятно: было сложное доказательство, предложили новое – простое, кому теперь нужно сложное?
Возможность доказательства чего-то "длинно, но в лоб" может быть тоже полезным знанием.
