Поиск временной и весовой функций (ТАУ). Где ошибка?

[Kocmoz]

Добрый день всем!
Помогите найти ошибку в решении задачи.
Дана передаточная функция $W(s)=\frac{5\cdot(s+4)}{(s+2)^2\cdot(s+1)}$.
Надо найти весовую и временную функцию $\omega(t)$ и $h(t)$ соответственно.
В этой функции $B(s)=5\cdot(s+4), A(s)=(s+2)^2\cdot(s+1)=s^3+5\cdot{s}^2+8\cdot{s}+4$
$A'(s)=3\cdot{s}^2+10\cdot{s}+8$
Нули передаточной функции $s_1=-2, (n_k=2); s_2=-1$, где $n_k$-кратность
Для не кратных корней получаем $\omega(t)=\frac{B(s_2)}{A'(s_2)}\cdot{e}^{s_2{t}}=\frac{5\cdot{3}}{3+(-10)+8}\cdot{e}^{-t}=15\cdot{e}^{-t}$
Для кратных корней:
$\omega(t)=$\lim\limits_{s\to{s_1}}\frac{d}{ds}$(W(s)\cdot(s-s_1)^{n_k}\cdot{e}^{st})=$\lim\limits_{s\to{s_1}}\frac{d}{ds}$($\frac{5\cdot(s+4)}{(s+2)^2\cdot(s+1)}\cdot(s+2)^2\cdot{e^{st}})=$
=$\lim\limits_{s\to{-2}}(\frac{5s+5-5s-20}{s^2+2s+1}e^{st}+\frac{5s+20}{s+1}te^{st})=\frac{-15}{-1}e^{-2t}+\frac{10}{-1}te^{-2t}$
Получаем следующую функцию веса:
$\omega(t)=\frac{15}{1}e^{-t}+\frac{-15}{-1}{e^{-2t}}+\frac{10}{-1}te^{-2t}=5[3e^{-t}+(-3-2t)e^{-2t}]$

С ответом сходится
Теперь временная функция. Ищем как $H(s)=W(s)\frac{1}{s}$
$H(s)=\frac{5(s+4)}{s\cdot(s+2)^2\cdot(s+1)}, A(s)=s\cdot(s+2)^2\cdot(s+1)=s^4+5s^3+8s^2+4s$
$A'(s)=4s^3+15s^2+16s+4$
$B(s)$ не изменилось
Нули $s_1=0; s_2=-2, (n_k=2); s_3=-1$
Для не кратных корней:
$h(t)=\frac{B(s_1)}{A'(s_1)}\cdot{e}^{s_1{t}}+\frac{B(s_3)}{A'(s_3)}\cdot{e}^{s_3{t}}=\frac{20}{4}e^0+\frac{15}{1}e^{-t}$
Для кратных корней:
$h(t)=$\lim\limits_{s\to{s_2}}\frac{d}{ds}$(H(s)\cdot(s-s_2)^{n_k}\cdot{e}^{st})=$\lim\limits_{s\to{s_2}}\frac{d}{ds}$($\frac{5\cdot(s+4)}{(s^2+s)\cdot(s+2)^2}\cdot(s+2)^2\cdot{e^{st}})=$
$=$\lim\limits_{s\to{s_2}}\frac{d}{ds}(\frac{5\cdot(s+4)}{s^2+s}e^{st})=$\lim\limits_{s\to{-2}}(\frac{5s^3+5s^2-(2s+1)(5s+20)}{s^4+2s^3+s^2}e^{st}+\frac{5s+20}{s(s+1)}t\cdot{e^{st}})=$
$=\frac{-40+20+(-3)\cdot{10}}{16-16+4}e^{-2t}+\frac{10}{2}t\cdot{e^{-2t}}=\frac{50}{4}e^{-2t}+\frac{10}{2}t\cdot{e^{-2t}}$
Получаем временная функция:
$h(t)=\frac{20}{4}e^0+\frac{15}{1}e^{-t}+\frac{50}{4}e^{-2t}+\frac{10}{2}t\cdot{e^{-2t}}=5\cdot[1+3e^{-t}+(2.5+t)e^{-2t}]$
С ответом не сходится

(Оффтоп)

$h(t)=5\cdot[16-3e^{-t}+(2-t)e^{-2t}]$

Не могу найти где ошибка
Помогите найти пожалуйста.
Решаю для себя, ТАУ было в университете, теперь вспоминаю. Есть мысль, что где то делают неправильный шаг при поиске временной функции (постоянно не сходится с ответом)

[мат-ламер]

Kocmoz в сообщении #1046800 писал(а):

Решаю для себя

Воспользуйтесь тогда компьютером.

[Kocmoz]

мат-ламер в сообщении #1046910 писал(а):

Kocmoz в сообщении #1046800 писал(а):

Решаю для себя

Воспользуйтесь тогда компьютером.

Как это поможет найти ошибку??

[profrotter]

Вот здесь:
$=$\lim\limits_{s\to{s_2}}\frac{d}{ds}(\frac{5\cdot(s+4)}{s^2+s}e^{st})=$\lim\limits_{s\to{-2}}(\frac{5s^3+5s^2-(2s+1)(5s+20)}{s^4+2s^3+s^2}e^{st}+\frac{5s+20}{s(s+1)}t\cdot{e^{st}})=$
Попробуйте в сторонке посмотреть $\frac{d}{ds}(s+4)$. Она вовсе не равна $s$.

[Kocmoz]

profrotter в сообщении #1048430 писал(а):

Вот здесь:
$=$\lim\limits_{s\to{s_2}}\frac{d}{ds}(\frac{5\cdot(s+4)}{s^2+s}e^{st})=$\lim\limits_{s\to{-2}}(\frac{5s^3+5s^2-(2s+1)(5s+20)}{s^4+2s^3+s^2}e^{st}+\frac{5s+20}{s(s+1)}t\cdot{e^{st}})=$
Попробуйте в сторонке посмотреть $\frac{d}{ds}(s+4)$. Она вовсе не равна $s$.

Спасибо, исправил (по пути нашёл ещё одну потерю), тогда предел получается
$\lim\limits_{s\to{-2}}(\frac{5s^2+5s-(2s+1)(5s+20)}{s^4+2s^3+s^2}e^{st}+\frac{5s+20}{s(s+1)}t\cdot{e^{st}})=\frac{20-10+(-3)\cdot{10}}{16-16+4}e^{-2t}+\frac{10}{2}t\cdot{e^{-2t}}=$ $=\frac{40}{4}e^{-2t}+\frac{10}{2}t\cdot{e^{-2t}}$
Но с ответом

Kocmoz в сообщении #1046800 писал(а):

(Оффтоп)
$h(t)=5\cdot[16-3e^{-t}+(2-t)e^{-2t}]$

Всё ровно не сходится... Главное не могу понять откуда берется 16 и минус при $e^{-2t}$.
Подставляем? по аналогии с весовой функцией, $s_1=0$ и $s_3=-1$
$h(t)=\frac{20}{4}e^0+\frac{15}{-1}e^{-t}+\frac{20}{4}e^{-2t}+\frac{10}{2}t\cdot{e^{-2t}}=5\cdot[1-3e^{-t}+(2+t)e^{-2t}]$

[profrotter]

Можно предположить, что в ответе ошибка и проверить это, учитывая, что $\omega(t)$ является производной от $h(t)$. То есть взять и продифференцировать то, что не сходится с ответом и убедиться, что получается первая функция. И ответ продифференцировать и убедиться, что не получается.

[Kocmoz]

profrotter в сообщении #1049002 писал(а):

Можно предположить, что в ответе ошибка и проверить это, учитывая, что $\omega(t)$ является производной от $h(t)$. То есть взять и продифференцировать то, что не сходится с ответом и убедиться, что получается первая функция. И ответ продифференцировать и убедиться, что не получается.

А корректно проверить ещё таким образом: вместо передаточной функции решить дифференциальное уравнение при начальных условиях $y(0)=\dot{y}(0)=0$, получить $h(t)$, ну и потом взять $\dfrac{dh(t)}{dt}$ и получить $\omega(t)$??

[profrotter]

Не-а. Нулевые начальные условия означают отсутствие запаса энергии в системе на момент воздействия $t=0$. То есть если в системе есть пружины - они не растянуты/сжаты, если ёмкости и индуктивности - они разряжены и тп. При этом нулевыми начальными условиями в прямом математическом смысле будут начальные условия для некоторых её характеристик, которые не могут изменяться скачком (удлинение/сжатие пружины, напряжение на ёмкости, ток через индуктивность). Это так называемые независимые начальные условия. Для остальных это может не выполняться. В частности, в данной задаче и $\omega(0)\neq 0$ и $h(0)\neq 0$, а ведь именно одну из них Вы хотите получить в результате решения дифференциального уравнения.