Puzzle 798: Простые суммы простых чисел

[Vovka17]

Nataly-Mak в сообщении #1048413 писал(а):

у вас 251886-ое простое число какое?

Да запутался я что-то с числами . При каждом запуске разные результаты.

dmd, спасибо. Значит $g(11,251887)=8$.
...Значит две 9-ки я нашел. Десяток пока нету.

[Iam]

$ g(241,139)=8 $

[dimkadimon]

$g(3,8744076)=8$

[Nataly-Mak]

dimkadimon в сообщении #1046945 писал(а):

Задача: найдите самое большое значение для $g(n,i)$. Я нашел $n$ и $і$ для которых $g(n,i)=9$.

Какую-нибудь сортировку решений ввели бы что ли.
Например, так:
положим $n=k$, $k=3, 4, 5$, ...
найти минимальное $i$, при котором $g(k,i)$ будет максимальным.

А так получается море разных решений для разных значений $i$ и $n$ и никакого порядку в этом море

-- Сб авг 29, 2015 06:50:32 --

Например, $i=8744076$ это минимальное значение $i$, для которого $g(3,8744076)=8$
А при каком минимальном значении $i$ будет $g(3,i)=9$
Тут уже есть конкретное направление поиска решения.

[dimkadimon]

Nataly-Mak в сообщении #1048956 писал(а):

Какую-нибудь сортировку решений ввели бы что ли.

Оригинально я искал максимальное значение для $g(n,i)$ для любых значений $n$ и $i$. Поэтому в задаче такая формулировка. Конечно можно ввести сортировку решений и это неплохая идея. Все зависит от интереса.

Вы правильно отметили, $i=8744076$ это наименьшая $i$ для которой $g(3,i)=8$. Кстати я добавил это решение в OEIS: https://oeis.org/A072225. $g(3,i)=9$ я еще не нашел.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #1048956 писал(а):

Например, так:
положим $n=k$, $k=3, 4, 5$, ...
найти минимальное $i$, при котором $g(k,i)$ будет максимальным.

У меня тут неточность. Исправляю:
положим $n=k$, $k=3, 5, 7$, ...
Понятно, что сумма чётного количества простых чисел не может быть простым числом (если не начинать суммирование с простого числа 2).
Тривиальное решение $g(2,1)=1$ не интересно.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #1048963 писал(а):

Тривиальное решение $g(2,1)=1$ не интересно.

Кстати, список тривиальных решений можно продолжить:
$g(4,1)=1$
$g(6,1)=1$

[dimkadimon]

Carlos объявил продолжение задачи (http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_799.htm), но еще не выложил решения к оригинальной. Не знаю когда решения появятся.

Вот описание новой задачи. Как и раньше, допустим $f(n,i)$ это сумма $n$ последовательных простых чисел начиная с индекса $i$. Допустим $h(n,i)$ это количество простых последовательных членов последовательности $\{f(n,i), f(n+2,i), f(n+4,i), \ldots \}$. Например $h(1,10)=5$ потому что имеем 5 простых сумм:

$f(1, 10) = p(10) = 29,$
$f(3, 10) = p(10)+p(11)+p(12)=29+31+37 = 97,$
$f(5, 10) = p(10)+p(11)+p(12)+p(13)+p(14) = 29+31+37+41+43 = 181,$
$f(7, 10) = p(10)+p(11)+p(12)+p(13)+p(14)+p(15)+p(16) = 29+31+37+41+43+47+53 = 281,$
$f(9, 10) = p(10)+p(11)+p(12)+p(13)+p(14)+p(15)+p(16)+p(17)+ p(18) = 29+31+37+41+43+47+53+59+61 = 401.$

Задача: найдите самое большое значение для $h(n,i)$. Я нашел $h(1, 7167295) = 9.$

[Begemot82]

Можно еще определить функцию $s(n,i)=g(n,i)+h(n,i),n>1$ и искать максимум для неё.
$s(3,10)=g(3,10)+h(3,10)=2+4=6$

[dimkadimon]

Begemot82 в сообщении #1049227 писал(а):

Можно еще определить функцию $s(n,i)=g(n,i)+h(n,i),n>1$ и искать максимум для неё.
$s(3,10)=g(3,10)+h(3,10)=2+4=6$

Отличная идея, надо попробовать.

[dmd]

Та "неправильная" задача, которую я сначала начал решать, существенно тяжелее, и по-мне субъективно красивее. Лучшее что нашёл это $g=4$:

p(31870)+p(31871)+p(31872)=p(87452)
p(31871)+p(31872)+p(31873)=p(87453)
p(31872)+p(31873)+p(31874)=p(87454)
p(31873)+p(31874)+p(31875)=p(87455)

При этом $n=5$ для меньших $g$ крайне редки.

Можно определить такую задачу как поиск последовательности минимальных сумм $S_2,S_3,S_4,...,S_g$ каждая из которых есть сумма $g$ последовательных простых, каждое из которых тоже сумма соответствующих $n$ последовательных простых.

Последовательность получается такая

410,633,4496118,...

что соответствует

p(46)+p(47),p(46)+p(47)+p(48),p(87452)+p(87453)+p(87454)+p(87455),...

В OEIS такой последовательности нет.



Возможна ещё последовательность с "более последовательным" вариантом расстановки последовательных простых:

p(6843)+p(6844)+p(6845)=p(18525)
p(6846)+p(6847)+p(6848)=p(18526)

Почему-то такая задача еще тяжелее, т.к. ни одного варианта $n>3$ и $g>2$ вообще не сумел найти. Т.е. в этой последовательности пока только один член

413350,...

что соответствует $413350=p(18525)+p(18526)$

[dimkadimon]

dmd вы просто генератор хороших идей - они мне все нравятся! Глаза разбегаются и даже не знаю какую задачу решать. Что другие думают?

[Vovka17]

Для основной задачи нашел 5 девяток. Десяток пока нет, но они где-то рядом !

[dimkadimon]

Спросил у Carlos почему он не показывает ответы. Оказывается кроме меня ему никто не прислал ответы и поэтому ему нечего показывать! Друзья посылайте ему свои находки иначе мы никогда не узнаем результаты...

Vovka17 в сообщении #1049464 писал(а):

Для основной задачи нашел 5 девяток. Десяток пока нет, но они где-то рядом !

Я тоже нашел 5 девяток, интересно насколько они совпадают с вашими. Думал что десятки рядом, но они так и не появились. У меня даже чувство что чем больше $i$ тем реже хорошие решения и поэтому десятки сложно найти.

-- 31.08.2015, 22:57 --

dmd в сообщении #1049243 писал(а):

Та "неправильная" задача, которую я сначала начал решать, существенно тяжелее, и по-мне субъективно красивее. Лучшее что нашёл это $g=4$:

Эта задача правда сложная. Допустим $(i,j)$ значит $p(i)+p(i+1)+p(i+2)=p(j)$. Если не ошибся то следующие решения дают $g=4$ для $j<50847534$:

(31870,87452)
(1258697,3528585)
(1843061,5175606)
(2442219,6865787)
(2917866,8209278)
(3159151,8890801)
(3159337,8891286)
(4549336,12821270)
(5196389,14652837)
(6314843,17817855)
(6425505,18131719)
(6834436,19291044)
(7527869,21255416)
(7622573,21523906)
(10157799,28710584)
(10955106,30973188)
(11549105,32658475)
(13184677,37299504)
(13349410,37767466)
(13603654,38488714)
(13982199,39562233)
(14960104,42340199)
(16006951,45312601)
(17682651,50072361)
(17705487,50137518)

А вот $g=5$ так и нет... Думаю его надо искать только для $n=3$ потому что $n>3$ совсем плохие результаты дают. Для $j>50M$ у меня не хватает RAM чтобы находить все простые решетом Эрастофена. Кстати найти индекс $j$ для определенной суммы можно очень быстро используя двоичный поиск.

[dimkadimon]

Ура! Кажется нашел пятерку для "неправильной" задачи, но нужно чтобы кто то проверил: (27308792,77439151). Значит

$p(27308792)+p(27308793)+p(27308794)=p(77439151),$
$p(27308793)+p(27308794)+p(27308795)=p(77439152),$
$p(27308794)+p(27308795)+p(27308796)=p(77439153),$
$p(27308795)+p(27308796)+p(27308797)=p(77439154),$
$p(27308796)+p(27308797)+p(27308798)=p(77439155).$

Если работает то можно добавить в OEIS.

-- 01.09.2015, 10:10 --

Работает! Вот доказательство:

(Оффтоп)

...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pr ... 7439151%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pr ... 7439152%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pr ... 7439153%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pr ... 7439154%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pr ... 7439155%29