Дельта-функция Дирака и Дельта-Кронекера есть ли общее?

[Divergence]

Возможно я в плену ложных аналогий между дельта-функцией $\delta (x-m)$ и последовательностью $\delta_{n,m}$ ($n,m \in \mathbb{Z}$, $x \in \mathbb{R}$):
1) Преобразования Фурье

$$ \int^{+\infty}_{-\infty} e^{ -i \, k \, x} \, \delta (x-m) = e^{ -i \, k \, m} , \quad \text{и} \quad \sum^{+\infty}_{n=-\infty} e^{ -i \, k \, n} \, \delta_{n,m} = e^{ -i \, k \, m}.$$

2) Свертка

$$ \int^{+\infty}_{-\infty} f(x) \, \delta (x-m) = f (m), \quad \text{и} \quad \sum^{+\infty}_{n=-\infty} f_n \, \delta_{n,m} = f_m . $$

За этим что-то стоит или ничего нет?
В какой мере можно использовать аналогию между дельта-функцией $\delta (x-m)$ и последовательностью $\delta_{n,m}$ ?
В какой мере можно продолжить аналогию их действием на пространствах функций и пространствах последовательностей?

И особенно интересно в какой мере можно продолжить аналогию с их принадлежностью дуальм пространствам функционалов?

[Vince Diesel]

Стоит. Гуглите локально-компактные группы, группа характеров, двойственность Понтрягина... Для окружности двойственной группой является $\mathbb Z$, вот и будут ряды Фурье. А для прямой двойственной группой будет сама прямая.

[Divergence]

А аналогия про пространства? Например, $\delta(x) \in {\cal J}^*(\mathbb{R})$ и $\delta_{n,0} \in {\cal J}^*(\mathbb{Z})$, если такое чудо как ${\cal J}^*(\mathbb{Z})$ существует в природе?

[Vince Diesel]

Так $\delta_{n,1}$ принадлежит чему угодно из (стандартных пространств для последовательностей) и непонятно, что в такой формулировке содержательного.

[Divergence]

Локально-компактные группы, группа характеров, двойственность Понтрягина - это наверное для меня слишком абстрактное обобщение.
Мне хотелось узнать о наличии аналогии между дельта-функцией $\delta (x-m)$ и последовательностью $\delta_{n,m}$ для использования в теории числовых рядов.
Есть ли, например, аналоги пространств основных функций и обобщенных функций для дискретного случая для последовательностей.

[Vince Diesel]

Не знаю, но наверняка есть. Скажем, имеется единообразное определение пространств Бесова (а также Соболева,...) с помощью преобразования Фурье. Для функций на окружности в выражении для нормы фигурируют коэффициенты Фурье $c_n$, $n\in \mathbb Z$. Если теперь забыть про то, что последовательность $\{c_n\}$ откуда-то получена, можно объявить соответствующим пространством Бесова, ... множество последовательностей, для которых конечна норма.

[Divergence]

Спасибо. А ссылку не подскажите?

[Vince Diesel]

Трибель Х.,Теория функциональных пространств, 9.1.3.

[Divergence]

Спасибо.