Вычислить интеграл

[schooolboy]

Вычислить интеграл (либо Дирихле либо Фруллани)

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\alpha\cdot x\cdot\cos(x)-\sin(\alpha\cdot x)}{x^2}$$

Я стал его решать через дифференцирование несобственного интеграла по параметру(что бы потом свести к Фруллани).
Для этого должно выполняться следующее:
1. Равномерная сходимость исходного
Таковое имеется, если делать через Вейерштрасса и промажорировать с $\frac{1}{x^2}$
2. Равномерная сходимость интеграла от производной по параметру $\alpha$
Этот пункт также выполнятся, в конечном итоге мы получим $\cos(\alpha\cdot x)$ что в следствии сходиться по $\alpha$
3. Непрерывность нашей исходной функции
и вот здесь уже как не решай предел:

$$\lim\limits_{x \to 0}^{}\frac{\alpha\cdot x\cdot\cos(x)-\sin(\alpha\cdot x)}{x^2}$$

он будет равен 0, следовательно дифференцировать по параметру данный интеграл нельзя.
Либо я что-то не правильно сделал, либо есть другой способ решить данный интеграл.
Помогите пожалуйста)))

[Otta]

schooolboy в сообщении #1049050 писал(а):

и вот здесь уже как не решай предел:

$$\lim\limits_{x \to 0}^{}\frac{\alpha\cdot x\cdot\cos(x)-\sin(\alpha\cdot x)}{x^2}$$

он будет равен 0, следовательно дифференцировать по параметру данный интеграл нельзя.

Кто сказал? во-первых, теорема, которую Вы неправильно цитируете, содержит достаточные условия дифференцируемости, и из того, что какое-то из них нарушено, вообще говоря, ничего не следует.

Во-вторых, что предел существует, уже само по себе большая роскошь - ну доопределите подынтегральную функцию при $x=0$ значением предела, и уже будет Вам счастье. А на значение интеграла это не повлияет.

В-третьих, первое условие не нужно. Его в теореме нет.

В-четвертых, второй пункт изложен невнятно. Неясно, ни что должно бы значить

schooolboy в сообщении #1049050 писал(а):

в конечном итоге мы получим $\cos(\alpha\cdot x)$ что в следствии сходиться по $\alpha$

я догадываюсь, откуда оно взялось, но... И вообще, равномерная сходимость - штука неотъемлемая от множества, а Вы о нем ни разу не упомянули. Равномерная сходимость где?

А в целом так довести до ума можно.

[nnosipov]

Не проще ли аккуратно проинтегрировать по частям? Сразу Фруллани и получим.

[Otta]

Это всегда проще - с точки зрения возни с обоснованиями, но это ж угадывать... ))