Суперпозиция квантовых состояний и закон сохранения энергии.

[Munin]

Prikol в сообщении #1047035 писал(а):

А сколько же по вашему надо затратить, чтобы создать такое состояние?

Суперпозицию 0 эВ и 4 эВ, разумеется. Потому что ни при каких затратах одного определённого количества энергии, вы не получите в итоге выполнения законов физики.

Prikol в сообщении #1047035 писал(а):

И кстати, сколько надо затратить, чтобы создать суперпозицию с квадратами коэффициентов например 0.0001 (4 эВ) и 0.9999 (0 эВ)?

Аналогично.

Prikol в сообщении #1047035 писал(а):

В качестве способа создания суперпозиции возьмем осцилляции Раби.

А от способа не зависит. В осцилляциях Раби, соответственно, в суперпозиции окажется выходное поле излучения.

Prikol в сообщении #1047035 писал(а):

И еще вопрос. Какое состояние получится если мы каким-то образом "впихнем" в двухуровневый атом (0 и 4 эВ) энергию 2 эВ, при условии, что эта энергия не перешла в его кинетическую энергию?

Никак не впихнёте.

Пример. В атоме водорода уровни нам известны. Но атом водорода описывается трёхмерной комплексной волновой функцией $\psi(x,y,z)\in\mathbb{C}.$ Мы можем взять волновую функцию на нижнем уровне, и другую функцию на каком-то более высоком. Они будут по-разному расположены в пространстве: где-то максимум, где-то минимум вероятности. Поскольку функцию можно менять непрерывно, то мы можем и взять нечто среднее между этими функциями, такую третью функцию, что она будет максимум в пространстве посередине между максимумами первой и второй функций. "Сместим" электрон туда, где он должен иметь промежуточную энергию.

Вы думаете, что в результате получится какая-то промежуточная энергия? Ничего подобного! Получится всего лишь какая-то суперпозиция волновых функций известных энергетических уровней. Причём не обязательно первых двух самых низких - там могут участвовать и более высокие возбуждённые состояния. У атома может даже появиться какая-то вероятность, что полученная энергия его ионизирует - электрон улетит прочь.

Prikol в сообщении #1047035 писал(а):

То, что в учебнике, соответствует копенгагенской интерпретации. Но она в последние лет 20 громко трещит по всем швам. Подробности можете найти в Phys. Rev.Lett., Phys. Lett. и др.

Печально видеть, когда человек вместо мозгов пользуется слухами. Паче собственными выдумками. Те вещи, о которых вы спрашивали, по швам отнюдь не трещат.

Prikol в сообщении #1047035 писал(а):

Надеюсь вы понимаете, что речь в теме идет не о вычислении какого-нибудь собственного значения, которое от выбранной интерпретации обычно не зависит, а о том, что выглядит по разному в разных интерпретациях КМ.

Нет, у вас в теме речь именно о первом. О втором вы, возможно, хотели поговорить, но не сумели.

-- 22.08.2015 23:10:15 --

Prikol в сообщении #1047065 писал(а):

1. При наиболее простом подходе мы говорим. Вот написаны на бумаге две волновые функции (от координат и времени) состояний 0 и 4 эВ. Мы эти состояния просто сложили и заново пронормировали. И больше пока ничего неизвестно, ни как будем измерять, ни что намеряем. Вопрос. Можно ли этой суперпозиции написаной на бумаге приписать некоторую энергию и что это будет за энергия?

Можно. Эта энергия будет спектром. А не числом.

Prikol в сообщении #1047065 писал(а):

Далее, как можно сказанное об энергии "впихнуть" в банальный закон сохранения энергии?

Ничего "впихивать" и не требуется. Каждая составляющая спектра с определённой энергией, сохраняет нормировку с течением времени. Это и означает закон сохранения энергии, как бы ни схлопнулась в итоге суперпозиция.

Prikol в сообщении #1047065 писал(а):

Какие будут комментарии к сказанному?

Кто мешает тебе выдумать порох непромокаемый?

К. Прутков.

Ваши выдумки (о приборе, затратившем 2 эВ - на самом деле, это косвенное измерение, что указал Эйнштейн в статье ЭПР) невозможно совместить с квантовой механикой (per se, а не с какой-то её интерпретацией), и поэтому они остаются чесанием языком.

-- 22.08.2015 23:12:24 --

Prikol в сообщении #1047073 писал(а):

Я пытаюсь продвинуть ситуацию на один шаг дальше. Внутри первого прибора что-то пошуршало, волновая функция схлопнулась и прибор выдал инфу, что 2 эВ пропало. После этого запутанности атома с первым прибором больше нет.

Схлопываются одновременно две волновые функции: прибора и созданной им системы. Именно так устроена запутанность. Так что, прибор может сказать только, что пропало 0 эВ или 4 эВ, и именно столько будет у системы - начиная с этого момента, она будет уже не в суперпозиции, а на конкретном соответствущем уровне.

[Prikol]

Munin писал(а):

В осцилляциях Раби, соответственно, в суперпозиции окажется выходное поле излучения.

Вы явно не в теме. Вы конечно знаете базовые понятия, которые вдалбливают каждому студенту на лекциях. Но при рассмотрении незнакомых для вас вещей этого недостаточно.

Предлагаю то, что уже было неоднократно. Вы не замечаете меня, а я вас.

[arseniiv]

vlapay в сообщении #1047064 писал(а):

Тут дело в том, что, когда мы меняем базис

Мы можем не менять один базис на другой, а вообще не брать никакого базиса. Вообще, ничего не мешает системе сидеть спокойно в вакууме и не подозревать, каким из разных приборов мы решим её состояние померить и, соответственно, коэффициенты суперпозиции чего мы намеряем при многочисленных повторениях. Как-то бессмысленно звать состояние суперпозицией или не суперпозицией без оговорок. А с оговорками проще формулу написать, и не приписывать какого-то не вполне соответствующего реальности

vlapay в сообщении #1047051 писал(а):

Суперпозиция состояний появляется, когда есть принципиальное отсутствие информации, на какой именно "траектории" из всех возможных, находится квантовая система.

и прочее.

vlapay в сообщении #1047069 писал(а):

Нельзя просто написать на бумаге формулу и вертеть базис как угодно.

Можно вертеть базис как угодно. Если у нас нет прибора, измерением которым мы могли бы узнать коэффициенты разложения по данному выдуманному базису (напрямую), это не значит, что он чем-то плох. У него могут быть расчётные преимущества. Потом, напрямую или не напрямую — то, если считать аккуратно, какая разница?

[amon]

Prikol в сообщении #1046628 писал(а):

Допустим мы приготовили одиночный атом в суперпозиции этих двух состояний с одинаковыми коэффициентами. Энергия такого состояния равна 2 эВ.

Это неверно. Полученное состояние не имеет определенной энергии, так как не является собственным состоянием оператора энергии. Более того, это состояние не стационарно.

Prikol в сообщении #1046628 писал(а):

счетчик четко показывает, что из прибора ушла энергия ровно 2 эВ.

Это означает, что такой прибор создает собственное состояние оператора энергии (измеряет энергию, а значит проектирует волновую функцию на собственные состояния оператора энергии). Этот прибор Вашу суперпозицию не создаст.

[Munin]

amon
И вот это вот чудо заявляет, что я не в теме...

[Prikol]

vlapay в сообщении #1047051 писал(а):

... Для атома в состоянии суперпозиции энергии это означает, что он "запутан" с системой, которая была использована для приготовления этого состояния суперпозиции таким образом, что будет выполнятся закон сохранения энергии.

Если система микроскопическая, то ее конечно можно запутать с атомом находящимся в суперпозиции. Хотя для этого надо будет постараться. Само собой и автоматически запутывание не происходит.

Но если приготавливающая система макроскопическая, то ничего не выйдет. Мелькнула когда-то у меня перед глазами статейка Zurek, главного игрока в декогеренцию. Статейке было лет 30 и из названия следовало, что он вычислял как долго суперпозиция проживет в макроскопической системе прежде чем декогеренция ее уничтожит. Ог рассматривал "каноническую" макроскопическую частицу массой 1 г (частица ессно не элементарная, а обычное вещество) при комнатной температуре. У него получилось, что время необходимое для уничтожения суперпозиции на 40 порядков меньше, чем время релаксации. А время релаксации он вывел из квантового броуновского движения. Потом мелькнула недавняя публикация в которой он эти 40 порядков подтвердил и еще сказал, что квантовая суперпозиция в макроскопических системах это настолько хлипкая вещь, что даже реликтовое излучение ее мигом уничтожает.

Итак, если приготавливающая система и наша частица в суперпозиции - обе микроскопические, то перепутанность между ними возможна, но не всегда, а при тщательно выдержанных условиях. Но если приготавливающая система макроскопическая, то прибор, создав атом в состоянии суперпозиции, за неуловимое и неизмеримо малое время свою суперпозицию уничтожит, а вместе с этим исчезнет и перепутанность. После чего атом отправится в долгое плавание оставаясь в состоянии суперпозиции, но уже без запутанности с первым прибором.

Итак, как только из прибора вылетел атом, прибор должен давать однозначный ответ (а не ответ в виде суперпозиции) на вопрос о том, сколько энергии из прибора ушло.

Ну так что же покажет прибор в трех описаных случаях?

-- 24.08.2015, 22:32 --

amon в сообщении #1047125 писал(а):

Prikol в сообщении #1046628 писал(а):

Допустим мы приготовили одиночный атом в суперпозиции этих двух состояний с одинаковыми коэффициентами. Энергия такого состояния равна 2 эВ.

Полученное состояние не имеет определенной энергии, так как не является собственным состояние.м оператора энергии.

Вы просто перепсиали из учебника всем известную фразу. Кроме того, неопределенность будет только по отношению к прибору, который селективен по энергии. Рассмотрим атом (точнее какой-нибудь водородоподобный ион) с двумя верхними уровнями 100 и 102 эВ. Атом теперь в суперпозиции двух возбужденных состояний, коэффициенты по модулю одинаковы. Если прибор разрешает 100 и 102 эВ, то для этого прибора атом в суперпозиции не имеет определенной энергии. Но если щели спектрографа раздвинуть пошире, то он уже не сможет отличить 100 от 102. Но еще есть детектор, чувствительный болометр. Если атом не в суперпозиции, то в одном случае болометр показывает увеличение собственной температуры на 100 микро Кельвин, в другом на 102. Что покажет болометр если атом в суперпозиции?

Когда прибор имел два канала - 100 и 102 эВ, атому в суперпозиции надо было сначала сколлапсировать, чтобы проскочить через один или через другой канал к болометру. Но после расширения щелей спектрографа атому коллапсировать больше не надо. Можно сказать, что спектрографа, требовавшего коллапса атома к одному из определенных значений энергии, вообще больше нет. Остался только болометр. Болометр этот атом хавает сразу, без коллапса. Что покажет болометр? 100, 102 или 101 микро Кельвин?

[amon]

Prikol в сообщении #1047496 писал(а):

Вы просто переписали из учебника всем известную фразу.

А Вы - борец с учебниками по квантовой механике? Тогда надо как-то не так это делать. То, что Вы пишете находится в вопиющем противоречии с этими пресловутыми учебниками, но, к сожалению, до сей поры предсказания учебников подтверждаются экспериментом. Например, в Ваших рассуждениях молчаливо предполагается, что если "коэффициенты по модулю одинаковы", то состояние стационарно. Это не так, и вероятность обнаружить систему в каком-то состоянии в Вашем случае зависит от времени, поскольку от времени зависит разность фаз Ваших "коэффициентов".

Если затевать борьбу с учебниками, то надо начинать с реального эксперимента, либо с предсказания экспериментального факта, следующего из Вашей теории. А так это напоминает изобретателя вечного двигателя, объясняющего принцип его работы на основе Ньютоновской механики.

-- 24.08.2015, 23:44 --

Prikol в сообщении #1047496 писал(а):

Что покажет болометр?

Среднюю энергию.

[Munin]

amon в сообщении #1047543 писал(а):

Prikol в сообщении #1047496 писал(а):

Что покажет болометр?

Среднюю энергию.

Болометр - макроприбор, так что коллапс будет просто на болометре. Усреднять ему нечего, так как атом один. Так что покажет он просто одну из разрешённых энергий. Полагаю, это просто описка.

[amon]

Munin в сообщении #1047559 писал(а):

Болометр - макроприбор

Именно по этой причине он не может работать в режиме счета фотонов. Что бы болометр что-то показал, фотонов должна быть туча, и покажет он тогда среднюю энергию. А коллапс и проектирование происходит при излучении фотона.

[Munin]

Ну если взять тучу фотонов, то вы правы, но этого не было оговорено в условиях. В общем, классический троллинг, нас пытаются завести в словесную ловушку.

[Prikol]

amon в сообщении #1047543 писал(а):

Например, в Ваших рассуждениях молчаливо предполагается, что если "коэффициенты по модулю одинаковы", то состояние стационарно.

Перестаньте фантазировать! В моих рассуждениях каждый член суперпозиции сожержит зависящую от времени экспоненту со своим комплексным показателем. Коэффициенты равны только в начальный момент. К тому же волновой пакет движется в пространстве, а не торчит в потенциальной ямке.

Но! Может оказаться, что некоторые моменты волновой функции действительно стационарны. Вот это и выясняется. (Моменты волновой функции это интегралы содержащие ее и что-то еще)

amon в сообщении #1047543 писал(а):

... (1) вероятность обнаружить систему в каком-то состоянии в Вашем случае зависит от времени, поскольку (2) от времени зависит разность фаз Ваших "коэффициентов".

Из (2) вовсе не следует автоматически (1). Можете посчитать для двух простейших ВФ и доказать ваше утверждение?

amon в сообщении #1047543 писал(а):

... надо начинать с реального эксперимента, либо с предсказания экспериментального факта, следующего из Вашей теории.

1. Вы что, тему не читали? Эксперимент состоит в измерении энергии потерянной первым прибором и приобретенной вторым прибором. Причем измерение проводится не остро разрешающим монохроматором, различающим два квантовых состояния, а тупым болометром.
2. Где вы увидели мою "теорию"? Речь идет об эксперименте с заменой монохроматора на болометр БЕЗ могохроматора.

amon в сообщении #1047543 писал(а):

Prikol в сообщении #1047496 писал(а):

Вы просто переписали из учебника всем известную фразу.

То, что Вы пишете находится в вопиющем противоречии с этими пресловутыми учебниками, но, к сожалению, до сей поры предсказания учебников подтверждаются экспериментом.

В каком учебнике даны предсказания и результаты эксперимента по регистрации квантовой суперпозиции болометром без монохроматора и (может быть) без коллапса?

amon в сообщении #1047543 писал(а):

Prikol в сообщении #1047496 писал(а):

Что покажет болометр?

Среднюю энергию.

Мне нравится ваш ответ, но давайте всетаки уточним. При суперпозиции состояний 100 и 102 эВ болометр нагреется на 101 микро Кельвин, что соответствует энергии 101 эВ. При суперпозиции 0 и 4 эВ нагрев будет 2 микро Кельвин, что соответствует энергии 2 эВ. Я вас правильно понял? Заодно скажите что-нибудь о первом приборе. Остынет ли болометр в первом приборе на 2 микро Кельвин?

Теперь о вашем предыдущем посте, который в сумме со словами Мунина звучит примерно так: "В суперпозиции не будет определенного значения энергии потому что будет СПЕКТР (из двух значений энергии). А вот в состоянии БЕЗ суперпозиции энергия якобы определена." (Извиняюсь за то, что я сделал суперпозицию из вас и Мунина). Но к сожалению, природа устроена так, что и в состоянии БЕЗ суперпозиции тоже будет СПЕКТР. Потому что вечных состояний со строго определенной энергией в природе не бывает. Если возбужденное состояние живет наносекунду, то неопределенность энергии очень существенна. Даже основное состояние атома, казалось бы вполне устойчивое, не имеет определенной энергии, поскольку осноаной уровень уширяется из за неустранимых столкновений с другими частицами. Так что в КМ реально не бывает состояний с определенной энергией. Хотя в абстракции в функциональном анализе такие состояния бывают. Вы же по сути абстрактный результат из ФА перенесли на реальную систему. Что скажете?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
По-видимому, пора это прекращать. Надеюсь, amon и Munin, если сочтут нужным подвести итоги беседы, сделают это.

-- 25.08.2015, 22:18 --

Prikol - предупреждение за хроническое несоответствие выбранного тона сообщений уровню подготовки их автора.

[amon]

Как-то даже не удобно это комментировать. Исходный вопрос звучал так: есть некая величина $\lambda$ с соответствующим оператором $\hat{\Lambda}$ и собственными функциями $\Psi_\lambda$. Составим волновую функцию $a_1\Psi_{\lambda_1}+a_2\Psi_{\lambda_2}$. Спрашивается, чему равна $\lambda$ для такой функции. Следующий вопрос был - могу ли я получить такую функцию, если мой прибор выплевывает функцию с фиксированным $\lambda$. Первый вопрос разобран в начале любого учебника по квантовой механике, а ответ на второй очевиден. В конце были отождествлены частицы, вылетающие при переходах между состояниями с разными $\lambda$ и сами эти состояния, на основе чего были сделаны философские выводы об уровне подготовки оппонентов. В общем, перефразируя классика, можно сказать, что в этом топике было много новых и правильных мыслей, но, к сожалению, правильные мысли не новы, а новые - не правильны.

[Cos(x-pi/2)]

Может быть, ещё следует добавить ссылки на реальные эксперименты с одиночными атомами и их теорию. Вот хороший обзор (там всё постепенно, "с нуля", и довольно подробно рассказывается; в том числе, как реально создаются суперпозиционные состояния одиночного иона, и как и что реально измеряется):

"Quantum dynamics of single trapped ions"
http://journals.aps.org/rmp/abstract/10 ... hys.75.281

Менее подробно, но тоже интересно и ясно об экспериментах с квантовыми состояниями одиночного атома рассказал один из авторов в своей нобелевской лекции:

"О суперпозиции, перепутанности и о том, как вырастить кота Шрёдингера"
Д.Дж. Вайнленд
http://ufn.ru/ru/articles/2014/10/f/

Пересказывать всё в формате форумных скороговорок, видимо, нет смысла; заинтересованный ТС лучше спокойно и внимательно прочтёт эти обзоры, если этого еще не было сделано; желательно также смотреть статьи из списков литературы. Но один кусочек всё же процитирую (из указанной выше статьи Вайнленда, см. стр. 1092 в УФН):

Цитата:

Как во многих экспериментах в области атомной физики, используя высококогерентное излучение, можно приготовить ион в собственном состоянии и затем в заданной суперпозиции состояний; например, $|\downarrow \rangle \to \alpha | \downarrow \rangle + \beta | \uparrow \rangle .$ Чтобы определить величины $|\alpha|$ и $|\beta|,$ проводится детектирование, описанное выше. В результате одиночного измерения ион будет находиться в состоянии $| \downarrow \rangle$ или $| \uparrow \rangle$ с относительными вероятностями $P=|\alpha|^2$ и $P=1-|\alpha |^2.$ Квантовые флуктуации или "проекционный шум" (projection noise) в измерениях характеризуются величиной $\sqrt{P(1-P)/M},$ где $M$ - число измерений, проведённых на идентично приготовленных атомах [53]. Следовательно, для точного определения величины $P$ в общем случае необходимо много раз повторить эксперимент.

Т.е. "вероятностная интерпретация" КМ из учебников не только не "трещит по швам", а служит реальной основой анализа реальных КМ-экспериментов; с обсуждения этого факта начинается и статья Вайнленда [53] о квантовых флуктуациях:

"Quantum projection noise: Population fluctuations in two-level systems"
http://journals.aps.org/pra/abstract/10 ... vA.47.3554

Вместе с нобелевской лекцией Вайнленда не повредит прочесть также статью второго нобелевского лауреата:
"Управление фотонами в ящике и изучение границы между квантовым и классическим"
С. Арош
http://ufn.ru/ru/articles/2014/10/e/

(Ес-нно, эти ссылки для форума не новые; где-то они уже звучали.)

[Munin]

Prikol в сообщении #1047818 писал(а):

Теперь о вашем предыдущем посте, который в сумме со словами Мунина звучит примерно так: "В суперпозиции не будет определенного значения энергии потому что будет СПЕКТР (из двух значений энергии). А вот в состоянии БЕЗ суперпозиции энергия якобы определена." (Извиняюсь за то, что я сделал суперпозицию из вас и Мунина). Но к сожалению, природа устроена так, что и в состоянии БЕЗ суперпозиции тоже будет СПЕКТР. Потому что вечных состояний со строго определенной энергией в природе не бывает. Если возбужденное состояние живет наносекунду, то неопределенность энергии очень существенна. Даже основное состояние атома, казалось бы вполне устойчивое, не имеет определенной энергии, поскольку осноаной уровень уширяется из за неустранимых столкновений с другими частицами. Так что в КМ реально не бывает состояний с определенной энергией. Хотя в абстракции в функциональном анализе такие состояния бывают. Вы же по сути абстрактный результат из ФА перенесли на реальную систему. Что скажете?

Пожалуй, я тоже прокомментирую. После ответа amon мне мало что есть сказать, после ответа Cos(x-pi/2) - тем более.

Но на эту тему есть довольно распространённая педагогическая путаница. Это значит - путаница не в теории, а в том, как её преподавать студентам, и что у них в результате образуется в голове.

Квантовая физика обычно преподаётся в два захода:
1. Цикл "общая физика", учебники (обычно последний том цикла) называются "Квантовая механика", "Квантовая физика", "Атомная физика", "Атомная физика и элементарные частицы", "Атомная и ядерная физика", and alike.
2. Цикл "теоретическая физика", или вне цикла на аналогичном уровне, учебник "Квантовая механика".
Примером первого является Матвеев, Савельев, Иродов, Сивухин, Вихман. Примером второго - Ландау-Лифшиц, Блохинцев, Давыдов, Мессиа.

И проблема в том, что в этих двух заходах в головы незадачливых студентов вдалбливаются два, казалось бы, противоречивых утверждения:
1. Атом на любом неосновном уровне живёт не вечно, а рано или поздно излучает, и падает на основной уровень.
2. Атом на любом уровне живёт вечно, так как они вычисляются как собственные состояния оператора энергии, и соответственно, оператора эволюции.
Первое следует из опытов, второе диктуется математическим аппаратом квантовой механики. Кроме того, иногда встречаются заклинания о том, что состояния на самом деле имеют неопределённость энергии, в силу конечности времени наблюдения. Они тут вообще ни к селу, ни к городу.

На самом деле, никакого противоречия между этими двумя утверждениями нет. Квантовая механика имеет математический аппарат, истинный в своей фундаментальной конструкции, но могущий быть по-разному применённым. А именно, в случае атома можно записать квантованное описание для двух разных систем:
a. Атом сам по себе, то есть положительно заряженное ядро и электроны.
b. Атом + электромагнитное поле, также квантованное, так что оно может содержать фотоны.
Существуют и промежуточные варианты ("полуклассические"), но на них останавливаться не будем. Вариант a более прост, и поэтому первым рассматривается в учебных курсах. Именно в нём возникает вывод, что возбуждённые состояния строго стационарны. Но именно этот вариант физически неадекватен как раз в обсуждаемом аспекте. Вариант b даёт адекватное физическое описание: возбуждённые состояния распадаются, с излучением фотона, и даёт возможность рассчитать время излучения, поляризацию и тому подобные детали. Но до варианта b многие студенты просто "не доживают", поскольку он излагается в более продвинутом курсе "Квантовая электродинамика", который дают далеко не всем тем, кто слушал "Квантовую механику". А делается это по необходимости, поскольку само по себе квантование электромагнитного поля - дело не такое простое, и требует как дополнительной подготовки, так и достаточных причин, чтобы потратить на него академические часы. Какому-нибудь прикладнику-твердотельщику это может и не понадобиться.

С точки зрения квантовой механики, вариант b также является полноценной квантовомеханической системой, со строго стационарными точными энергетическими уровнями. Однако такие уровни не являются просто уровнями атома. Они включают в себя определённым образом падающие и расходящиеся фотоны. А если задать только состояние атома в вакууме электромагнитного поля, то оно окажется суперпозицией таких стационарных состояний, и начнёт эволюционировать как суперпозиция, нестационарно. Оно будет эволюционировать в состояние, в котором атом находится в низшем состоянии, а электромагнитное поле содержит один (или несколько) фотонов, расходящихся в стороны. Характерное время такой эволюции и будет "временем жизни" атома в возбуждённом состоянии. В таком формализме, все возбуждённые состояния атома будут иметь конечную ширину (неопределённость) по энергии, а вот основное состояние - будет абсолютно точным. И с процессом измерений эта ширина никак не связана, хотя может быть обнаружена. Собственно, именно так выглядят в физике элементарных частиц измерения недолгоживущих состояний (распадающихся частиц): они образуют на графике энергии пик с энергией $mc^2$ и шириной $\Gamma=1/\tau,$ где $\tau$ - характерное время жизни. Аналогично, в спектроскопии атомов эта неопределённость приводит к ширине спектральной линии, которая может быть измерена точными методами, хотя в старых опытах была незаметна.

Итого, рекомендуется читать:
- курс Мессиа - последнюю главу;
- курсы квантовой электродинамики, или простые курсы квантовой теории поля (более сложные - уходят в подробности, не относящиеся к электродинамике);
- курсы квантовой оптики.