минимизация функционала прямоугольной матрицы

[Anatoly]

Всем привет!
Столкнулся с необходимостью решения следующей проблемы.
Задан вещественный функционал для прямоугольной комплексной матрицы $R_{MN}$
следующего вида

$Q = X^T_M R_{MN} Y^*_N + X^H_M R^*_{MN}Y_N$

где $X = [e^{i\varphi_1} , \ldots, e^{i\varphi_M}]^T$,
$Y = [e^{i\psi_1} , \ldots, e^{i\psi_N}]^T $.

Вопрос в нахождении векторов $X, Y$ минимизирующих (максимизирующих)
фукционал $Q$.

По всей видимости есть здесь некоторая аналогия с соотношением Релея для квадратных матриц,
но мне пока не совсем понятно как её провести

Прошу поделиться идеями.

Заранее спасибо!

[Vince Diesel]

Если функционал комплексный, то в каком смысле минимум?

[Anatoly]

Ну если приглядеться, то первое и второе слагаемое являются комплексно сопряженными,
поэтому функционал является вещественнозначным.

[Vince Diesel]

Тогда получается обычная задача на условный экстремум (на произведении окружностей). С помощью множителей Лагранжа не получается?

[Anatoly]

Через множители Лагранжа не очень получается. Возникают производные от комплексно сопряженной переменной,
а их, как известно, не существует.
Попробую переформулировать задачу немного в другом виде, может кто признает:-)

Необходимо найти условия минимизации (максимизации) следующего функционала:

$Q = \sum_{n=1}^N{\sum_{m=1}^M}{\rho_{m,n}\cos(\varphi_m + \psi_n + \gamma_{m,n})}$

$\rho_{m,n}>0$ и $\gamma_{m,n}$ заданы.
Нужно найти $\varphi_m$ и $\psi_n$.