Электростатика II

[Stensen]

Доброго всем времени суток.Уважаемые плз поправьте если не прав. Задача: Незаряженную металлическую пластинку площадью $S$ поместили в однородное электрополе напряженностью $E$. После заземлили. Найти заряд, который перетечет на пластинку после заземления.
Рассуждаю так: До заземления - на противоположных сторонах пластинки, помещенной в электрополе, индуцируются заряды, которые согласно закону сохранения заряда равны по модулю и противоположны по знаку: $ |q_{int}| = |q_{ext}| = q $ , где: $ q_{int}, q_{ext} $ - соответственно заряды на внутренней и внешней сторонах пластины. Индуцированные заряды должны в толще металла пластины создать поле $E'$, которое скомпенсирует вызвавшее поле $E$, его находим из условия: $E + E' =0 $, где: $E'=\frac{|q_{int}|}{2S \varepsilon_0} + \frac{|q_{ext}|}{2S \varepsilon_0} =\frac{q}{S \varepsilon_0} = -E $. После заземления на пластину перетечет заряд, который скомпенсирует заряд на внешней стороне пластины: $ q_{ext}=0 $, а на внутренней создаст поле $E''$, которое скомпенсирует вызвавшее поле $E$ в толще металла пластины, т.е.:
$E''=\frac{q}{S \varepsilon_0} = -E $, отсюда:
$ q=-ES \varepsilon_0 $ - это искомый заряд, который перетек на пластинку. Правильно?

[Slav-27]

Stensen в сообщении #1047420 писал(а):

Незаряженную металлическую пластинку площадью $S$ поместили в однородное электрополе напряженностью $E$.

Как именно поместили?

В дальнейшем вы, кажется, столкнулись с одной из трёх проблем теоретической физики.

(Оффтоп)

1. Потеря знака.
2. Потеря $\frac12$.
3. Потеря $2\pi$.

А ещё вы, видимо, при расчёте поля, создаваемого заряженной пластинкой площади $S$, пользуетесь формулой для поля бесконечной плоскости: почему вы так делаете?

[Stensen]

Slav-27 в сообщении #1047488 писал(а):

Stensen в сообщении #1047420 писал(а):

Незаряженную металлическую пластинку площадью $S$ поместили в однородное электрополе напряженностью $E$.

Как именно поместили?

Начальное состояние: незаряженная металлическая пластина находится в однородном электрополе.
Конечное состояние: эту самую пластину заземляют.

Slav-27 в сообщении #1047488 писал(а):

В дальнейшем вы, кажется, столкнулись с одной из трёх проблем теоретической физики.

Проясните, плз?

Slav-27 в сообщении #1047488 писал(а):

при расчёте поля, создаваемого заряженной пластинкой площади $S$, пользуетесь формулой для поля бесконечной плоскости: почему вы так делаете?

Изнально предполагалось, что пластины - это бесконечной плоскости. $S$ внес в условие, просто для определенности, чтобы было на что делить $q$

[Slav-27]

Stensen в сообщении #1047492 писал(а):

Начальное состояние: металлическая пластина с зарядом $q=0$ находится в однородном электрополе.

Расположена она как относительно линий поля?

Stensen в сообщении #1047420 писал(а):

После заземления на пластину перетечет заряд, который скомпенсирует заряд на внешней стороне пластины: $ q_{ext}=0 $, а на внутренней создаст поле $E''$, которое скомпенсирует вызвавшее поле $E$ в толще металла пластины, т.е.:
$E''=\frac{q}{S \varepsilon_0} = -E $

Вот это подробнее объясните. Последнюю формулу.

-- 24.08.2015, 21:55 --

Stensen в сообщении #1047492 писал(а):

Изнально предполагалось, что пластины - это бесконечной плоскости. $S$ внес в условие, просто для определенности, чтобы было на что делить $q$

Великолепно. А почему вы рассчитываете на разумный результат?

[Theoristos]

Stensen в сообщении #1047420 писал(а):

Незаряженную металлическую пластинку площадью $S$ поместили в однородное электрополе напряженностью $E$.

Какая ориентация пластинки? Форма?
Каков потенциал хотя бы в какой-то точке этого "однородного поля"?

Stensen в сообщении #1047420 писал(а):

После заземлили.

Мне кажется, это не задача.

[Stensen]

Slav-27 в сообщении #1047493 писал(а):

Расположена она как относительно линий поля?

Перпендикулярно линиям поля.

Slav-27 в сообщении #1047493 писал(а):

$E''=\frac{q}{S \varepsilon_0} = -E $ Подробнее объясните формулу.

ИМХО, поле, образованное зарядами на стороне пластинки, обращенной к источнику внешнего поля: $E''= -E $. Т.к. заряд на противоположной стороне пластины $=0$, то $E''= \frac{Q}{2S\varepsilon_0}$, т.е. заряд на внутренней стороне $Q=-2ES\varepsilon_0$ . Подправил чуть-чуть.

-- 24.08.2015, 21:55 --

Slav-27 в сообщении #1047493 писал(а):

Stensen в сообщении #1047492 писал(а):

Изнально предполагалось, что пластины - это бесконечной плоскости. $S$ внес в условие, просто для определенности, чтобы было на что делить $q$

Великолепно. А почему вы рассчитываете на разумный результат?

Здесь я погорячился. $S$ - конечная плоскость, а формулу для поля бесконечных плоскостей использую, потому что считаю $S$ гораздо большей относительно расстояний до рассматриваемых точек.

-- 24.08.2015, 21:41 --

Theoristos в сообщении #1047505 писал(а):

Каков потенциал хотя бы в какой-то точке этого "однородного поля"? Мне кажется, это не задача.

Это не задача, просто хочу понять суть. Возможно не корректно сформулировал, но пока не понимаю. Можно ли ответить на мой вопрос без потенциалов, именно в моей постановке?

[Theoristos]

Stensen: без потенциалов очевидно нельзя. "Заземлить" - суть придать телу "нулевой" потенциал. Нулевой относительно чего? В однородном поле потенциал линейно и бесконечно растёт вдоль него. Где у вас сидит "земля" и где относительно неё находится пластина?

(если это переформулировка задачи из второй вашей темы - там задача дурноватая, но хотя бы связная)

ps: на самом деле вполне рабочую и забавную задачу из этого склепать можно.
"Дано электрическое поле $\vec{E}(\vec{r})$ или $\phi(\vec{r})$. Внесём в него некоторую замкнутую проводящую поверхность $\Omega$. Какой потенциал она будет иметь?"

[Stensen]

Theoristos в сообщении #1047572 писал(а):

"Дано электрическое поле $\vec{E}(\vec{r})$ или $\varphi(\vec{r})$. Внесём в него некоторую замкнутую проводящую поверхность $\Omega$. Какой потенциал она будет иметь?"

Если поверхность $\Omega$ сфера, то потенциал поверхности складывается из потенциала поля $\vec{E}(\vec{r})$ в центре сферы и потенциала, созданного индуцированными на сфере зарядами.

Theoristos в сообщении #1047572 писал(а):

без потенциалов очевидно нельзя. В однородном поле потенциал линейно и бесконечно растёт вдоль него. Где у вас сидит "земля" и где относительно неё находится пластина?

Заряды перетекают между точками с разными потенциалами до их выравнивания. Зная потенциалы до и после, можно найти перетекший заряд. Это понял. Видимо перемудрил с вопросом, хотел решить другим способом. Вопрос возник из следующей задачи Коган №418:

418. В однородное электрическое поле внесли две параллельные металлические пластинки, соединенные проволокой. Напряженность поля равна $E$, а площадь каждой пластинки равна $S $ (см.рис.). Найти величину зарядов, индуцированных на пластинках.



Здесь указано решение, но не разжевано (мне не понятно). Поясните плз, что такое $\sigma$ в формуле: $E'=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = ... $,
1. это поверхностная плотность зарядов на 2-х разных пластинах, на поверхностях, обращенных друг к другу или 2-х сторон одной?
2. в формировании полей между пластинами участвуют 4 поверхности. Почему в этом уравнении участвуют только 2 и отсутствуют слагаемые 2-х других поверхностей ?

[Slav-27]

Stensen в сообщении #1047507 писал(а):

Это не задача, просто хочу понять суть. Возможно не корректно сформулировал, но пока не понимаю. Можно ли ответить на мой вопрос без потенциалов, именно в моей постановке?

Хорошо, поверим, что вы действительно пытаетесь понять суть.

Тогда, действительно, объясните, что вы называете заземлением. (У меня есть некоторые предположения по этому поводу, но я не собираюсь их вместо вас озвучивать.)

Также, возможно, станет проще, если вы объясните:
1) откуда эта задача,
2) зачем вам всё это надо. (Вы готовитесь к контрольной по металлическим пластинкам? Или у вас именно с металлическими пластинками какие-то особенные проблемы?)

[Stensen]

Slav-27 в сообщении #1047684 писал(а):

Хорошо, поверим, что вы действительно пытаетесь понять суть.

А какие еще позывы могут меня к этому побудить?

Slav-27 в сообщении #1047684 писал(а):

Тогда, действительно, объясните, что вы называете заземлением. (У меня есть некоторые предположения по этому поводу, но я не собираюсь их вместо вас озвучивать.)

Заземлением я называю, соединение с точкой, потенциал которой условно принимается равным нулю. Иногда ее описывают как бесконечное по размерам проводящее тело.

Slav-27 в сообщении #1047684 писал(а):

Также, возможно, станет проще, если вы объясните:
1) откуда эта задача

Коган Б.Ю. "Задачи по физике". №418, стр.80

Slav-27 в сообщении #1047684 писал(а):

2) зачем вам всё это надо. (Вы готовитесь к контрольной по металлическим пластинкам? Или у вас именно с металлическими пластинками какие-то особенные проблемы?)

Ближе второе, к контрольной я не готовлюсь, но не понимаю, с чем связан этот вопрос? Просто интересуюсь.

[Slav-27]

Stensen в сообщении #1047720 писал(а):

Slav-27 в сообщении #1047684 писал(а):

Также, возможно, станет проще, если вы объясните:
1) откуда эта задача

Коган Б.Ю. "Задачи по физике". №418, стр.80

Я спрашивал про задачу с заземлением, а тут нет никакого заземления.

(Оффтоп)

Вот зачем вы две разные задачи в одну тему засунули?
Stensen в сообщении #1047651 писал(а):

Поясните плз, что такое $\sigma$ в формуле: $E'=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = ... $,
1. это поверхностная плотность зарядов на 2-х разных пластинах, на поверхностях, обращенных друг к другу или 2-х сторон одной?
2. в формировании полей между пластинами участвуют 4 поверхности. Почему в этом уравнении участвуют только 2 и отсутствуют слагаемые 2-х других поверхностей ?

Буквой $\sigma$ обозначена поверхностная плотность заряда на одной из этих 4 поверхностей. Чтобы понять, на какой, посчитайте заряд на каждой из них четырёх (принимая, например, что на правой поверхности правой пластинки избыточный заряд $+q$).

А потом нарисуйте на чертеже векторы напряженности электрического поля, создаваемые каждой из пластинок по отдельности.

Stensen в сообщении #1047720 писал(а):

Заземлением я называю, соединение с точкой, потенциал которой условно принимается равным нулю. Иногда ее описывают как бесконечное по размерам проводящее тело.

Электростатический потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной. Это заклинание означает, что физический смысл имеет не потенциал вообще, а потенциал относительно некоторой точки, или разность потенциалов между 2 точками. Можно выбрать какую угодно точку, положить в ней потенциал равным $0$ (или любому другому числу) и затем уже отсчитывать потенциал относительно именно этой точки. Электростатическое поле от никак не изменится от того, что мы выберем для этого ту или другую точку.

Таким образом, точки нулевого потенциала никак не выделены среди остальных точек: это всё зависит от нашего выбора "точки отсчёта", а само по себе поле понятия не имеет, что в какой-то точке нулевой потенциал, а в какой-то нет - так же как вы не знаете свою $x$-координату до того как вам сообщили, в какой системе координат измеряют ваше местоположение.

Поэтому если вы понимаете заземление вот так, то вам следует явно указать ту точку, в которой потенциал равен $0$ (как справедливо заметил Theoristos), и ответ к задаче будет, конечно, зависеть от вашего выбора.

Если вы скажете, откуда взялась эта задача, то можно будет погадать, что имел в виду автор. (А если вы сами её придумали, то можете и погадать сами.)

(Лирика)

Stensen в сообщении #1047720 писал(а):

Slav-27 в сообщении #1047684 писал(а):

2) зачем вам всё это надо. (Вы готовитесь к контрольной по металлическим пластинкам? Или у вас именно с металлическими пластинками какие-то особенные проблемы?)

Ближе второе, к контрольной я не готовлюсь, но не понимаю, с чем связан этот вопрос? Просто интересуюсь.

Вопрос связан с тем, что вы задаёте одинаковые вопросы в разных темах. Вы спрашиваете про какую-нибудь задачу, вам объясняют, вы говорите "понятно", а после этого задаёте похожие вопросы про другую задачу. Создаётся ощущение, что вы пытаетесь выучить электростатику по решебнику, а не по учебнику.

Так делать не надо. Лучше 1) сначала прочитать учебник, 2) потом выучить то, что там написано (и не просто понять текст, а и быть готовым воспроизвести все выкладки на листе бумаги!), 3) а потом решать задачи. Тогда дурацких вопросов, вероятно, будет гораздо меньше. Если вы не то что не можете решить задачу, но даже не можете понять её решение, когда вам показывают - это плохо. Вот я и спрашивал, зачем вы так странно делаете.

Чтобы понять, что почитать, идите в тему topic73624.html. Например, ответы на все(!) ваши вопросы про пластинки можно извлечь из I главы учебника
Савельев. Курс общей физики. Том 2.

[Stensen]

Slav-27 в сообщении #1047755 писал(а):

Если вы скажете, откуда взялась эта задача, то можно будет погадать, что имел в виду автор. (А если вы сами её придумали, то можете и погадать сами.)

Slav-27, cпасибо за советы. Задачу из первого поста придумал сам, уже понял, что условие некорректное, можно забыть. По задаче 418 из Когана тема актуальна. Кое в чем, похоже, разобрался, поправьте плз мои рассуждения, если кривовато.
При соединении проводом пластин, находящихся в однородном электрополе, их потенциал выравнивается и поле между пластинами отсутствует. Это означает, что избыточных зарядов на внутренних сторонах пластин нет (аналог внутренности заряженной сферы без заряда внутри, полость которой можно заполнить проводником и ничего не изменится). Избыточные заряды распределены по внешним сторонам пластин: $ \sigma_1 $ - слева и $ \sigma_2 $ - справа. Поля, создаваемые зарядами на внешних сторонах пластин, внутри пластин направлены навстречу полю $ E $ и компенсируют его: $ E'= \frac{|\sigma_1|}{2\varepsilon_0} + \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} =E $. Из закона сохранения заряда следует, что: $ \sigma_1 = - \sigma_2 = \sigma $, отсюда: $ \sigma = E\varepsilon_0 $ и $ q = ES\varepsilon_0 $.
Поправьте плз если что не так.

[Theoristos]

Stensen в сообщении #1047651 писал(а):

Если поверхность $\Omega$ сфера, то потенциал поверхности складывается из потенциала поля $\vec{E}(\vec{r})$ в центре сферы и потенциала, созданного индуцированными на сфере зарядами.

Вы знаете, это не только для сферы, а вообще для любого проводящего тела так будет. Проводящее тело, собственно по определению, есть тело с одинаковым потенциалом на поверхности. Что обеспечивается перетеканием зарядов из одних частей поверхности в другую.
И задача о заряде произвольного тела во внешнем поле до заданного потенциала решается в два шага - определение исходного потенциала незаряженного тела и определение заряда для доведения до нужного потенциала (где вылазит понятие емкости проводящего тела).
Интерес в том, как этот потенциал найти. В случае сферы всё довольно просто и разобрано например в Феймановских лекциях. (хотя в общем случае тут тоже можно через емкость попробовать пойти...)

Stensen в сообщении #1047651 писал(а):

Здесь указано решение, но не разжевано (мне не понятно). Поясните плз, что такое $\sigma$ в формуле: $E'=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = ... $,
1. это поверхностная плотность зарядов на 2-х разных пластинах, на поверхностях, обращенных друг к другу или 2-х сторон одной?
2. в формировании полей между пластинами участвуют 4 поверхности. Почему в этом уравнении участвуют только 2 и отсутствуют слагаемые 2-х других поверхностей ?

Не сочтите за снобизм, выбросьте этот задачник к чёртовой матери и возьмите приличные книги. Главная проблема в том, что на пути такого "решения" автором делаются упрощения, применимость которых совершенно не анализируется, собственно они даже не озвучиваются. Да ещё и опускает какие-то "очевидные" шаги в построении решения. В результате, точное решение довольно тонко и непросто, а ценность проведенного вот таким образом упрощённого решения даже не нулевая, а отрицательная. Ибо только путает.
Настоятельно рекомендую скачать хотя бы те же "Феймановские лекции по физике" и задачник к ним.

1. В данном случае - это модули "поверхностных плотностей" перетекших зарядов на пластинах, которые, очевидно, равны (из сохранения заряда и симметрии системы). Увы, изложение такое, что чтоб понять это нужно решать задачу самому и потом сравнивать получившееся с авторским.
2. Собственно, в указанном упрощении, на внутренних сторонах пластин заряды будут нулевые. Можно строить цилиндр, режущий пластины вплоть до внешних поверхностей и смотреть вытекающие поля и заряды внутри. Или смотреть потенциалы и поля от индуцированных зарядов, и убеждаться что они взаимно сократятся.

Проще всего рассматривать задачу как конденсатор внесенный во внешнее поле. До закорачивания пластин в рассматриваемой конфигурации на одной потенциал $U_0$ (тонкая пластина поперек равномерного поля будет иметь потенциал поля на данном значении координаты, причём внешнее поле такая пластина почти не изменяет), на другой $U_0+E \Delta x$, разность $E \Delta x$. Какой заряд нужно подать на конденсатор, чтоб разность потенциалов на обкладках была $-E \Delta x$?

[Stensen]

Всем спасибо! Теперь понятно.