вычислить интеграл с помощью перехода к цилиндрическим коорд

[IHmG]

Здравствуйте

в название темы не вошла полная фраза "вычислить интеграл с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам"

$$\int\limits_{1}^{0} dx \int\limits_{\sqrt{1-x^2}}^{-\sqrt{1-x^2}} dy\int\limits_{0}^{a}dz$$

в теории читаю

Цитата:

Замена переменных в тройном интеграле
Если ограниченная замкнутая область $V$ пространства $Oxyz$ взаимно однозначно отображается на область $V'$ пространства $O'uvw$ с помощью непрерывно дифференцируемых функций $x=x(u,v,w)$, $y=y(u,v,w)$, $z=z(u,v,w)$ причем Якобиан $I=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v.w)}$ при $(u,v,w)\in V'$, почти всюду сохраняет постоянный знак, то справедлива формула

$$\iiint\limits_{V}^{}f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_{V}^{}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)|I|dudvdw)$$

на сколько я понимаю, чтобы перейти к цилиндрической системе координат нужно переобозначить

$$ x=r \cos \varphi $$

$$ y=r \sin \varphi $$

$$ z=h $$

$$ I=r $$

На счет границы интегрирования не понял... на сколько я понял в моем случае будет полуцилиндр в начале координат с радиусом 1

причем $r=1$ (из границ интегрирования по $y$) высота равна $a$ (из границ интегрирования по $z$) угол меняется от 0 до $\pi$

правильно ли я думаю?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

IHmG в сообщении #1047345 писал(а):

Также не понятно как строить область интегрирования и нужно ли это вообще делать.

Вам - нужно.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ex-math]

Пределы изменения угла другие. Еще надо учесть, что у Вас в исходном интеграле пределы переставлены.

-- 24.08.2015, 13:55 --

Хотя там два раза переставлено, так что можно не обращать внимания.

[IHmG]

ex-math в сообщении #1047374 писал(а):

Пределы изменения угла другие.

Похоже понял... $x>0$ ... круг, если на декартовой системе $Oxy$... то получаем I и IV четверти... а это от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3}{2\pi}$

ex-math в сообщении #1047374 писал(а):

Еще надо учесть, что у Вас в исходном интеграле пределы переставлены. Хотя там два раза переставлено, так что можно не обращать внимания.

Какие пределы переставлены? Пусть для этой задачи не пригодится... но понять хочется на будущее :)

[ex-math]

Нет, от минус пи на два до пи на два.
Переставлены, в смысле от единицы до нуля, а люди пишут от нуля до единицы обычно.

[IHmG]

ex-math в сообщении #1047382 писал(а):

Нет, от минус пи на два до пи на два.

понял, спасибо... я четверти указал правильно ... а углы нет :( так ведь?

ex-math в сообщении #1047382 писал(а):

Переставлены, в смысле от единицы до нуля, а люди пишут от нуля до единицы обычно.

согласен, это крайне низкая квалификация набора в LaTEX. В задании пределы указаны как обычно

[ex-math]

Хорошо. Интеграл вычислили?

[IHmG]

если я правильно понимаю, чтобы построить интеграл в новых координатах нужно получить функцию от всех трех исходных переменных. как это делается? правильно ли я думаю?

-- 24.08.2015, 19:15 --

IHmG в сообщении #1047390 писал(а):

если я правильно понимаю, чтобы построить интеграл в новых координатах нужно получить функцию от всех трех исходных переменных. как это делается? правильно ли я думаю?

если без перехода к новым координатам - у меня получилось нечто невразумительное $\frac{a\cdot \pi}{2}$

[ex-math]

А какая у Вас была функция в исходном интеграле? Ее нужно выразить через новые переменные.

[IHmG]

в том-то и дело что никакой!

[ex-math]

Ну как это никакой? Разве не бывает постоянных функций, равных единице?
Вы же без замены получили ответ, что Вы там-то интегрировали, раз функции нет?

[IHmG]

$$\int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy\int\limits_{0}^{a}dz=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi\int\limits_{0}^{h}dh \int\limits_{0}^{1} rdr$$

только не понятно почему подинтегральной функции нет в задании

[ex-math]

Потому что подынтегральная функция равна единице, и ее просто не стали писать.