две окружности и звездообразная ломаная

[незваный гость]

AndAll писал(а):

За начальную точку можно взять любую точку на любой из окружностей, которые удовлетворяют условиям задачи.

Вот я и привёл пример. И выбрал ту начальную точку, которая мне понравилась. Ломаную в студию!

[AndAll]

незваный гость писал(а):

:evil:

AndAll писал(а):

За начальную точку можно взять любую точку на любой из окружностей, которые удовлетворяют условиям задачи.

Вот я и привёл пример. И выбрал ту начальную точку, которая мне понравилась. Ломаную в студию!

Ваши окружности не удовлетворяют условиям задачи. Сначала покажите, что для выбранных Вами окружностей существует хоть какая-то замкнутая ломаная с равными звеньями, вершины которой лежат на на этих окружностях.
Прошу прощения, но придется повториться: существенным условием здесь является то, что уже имеются такие окружности и ломаная. В задаче не предполагается, что такое построение возможно для любых окружностей.

[незваный гость]

AndAll, как же так? Мой примерс самого начапа включал указание ломаной, удовлетворяющей условиям. А Dimoniada привела пример бесконечного числа таких ломаных. Правда, не проходящих через мою точку.

[AndAll]

незваный гость писал(а):

... две равных окружности, касающиеся друг-друга и лежащие в перпендикулярных плоскостях

уже однозначно задают Ваше построение. Далее не понятно, что значит (и зачем)

Цитата:

... прямая, проходящая через центры проходит через точку касания.

Непонятно и как

Цитата:

Наша ломаная проходит через диаметры окружностей, перпендикулярные прямой.

Возможно, мое пространственное воображение сломалось, я не понимаю Вашего построения. Однако мне кажется, в первом сообщении автора темы все предельно ясно. Может стоит внимательно перечитать его еще раз?
Или может дадите рисунок?

[незваный гость]

Первая окружность — в плоскости $XY$, $(x-1)^2+y^2=1$. Вторая окружность — в плоскости $XZ$, $(x+1)^2+z^2=1$. Ломаная проходит через точки $(1,1,0)$, $(-1,0,1)$, $(1,-1,0)$, $(-1,0,-1)$. Точка, через которую хочется ломаную — $(0,0,0)$.

Можно вторую окружность слегка отодвинуть: $(x+2)^2+z^2=1$. Ломаная станет $(1,1,0)$, $(-2,0,1)$, $(1,-1,0)$, $(-2,0,-1)$. А проблемная точка $(0,0,0)$ останется.

AndAll писал(а):

уже однозначно задают Ваше построение. Далее не понятно, что значит (и зачем)

Не задают. Рассмотрите, например, всё аналогично, но вторую окружность в плоскости $YZ$.

[AndAll]

Уважаемый незванный гость, не надо гневаться
Извините мою тупость, теперь мне наконец понятно Ваше построение. В то же время, надеюсь, Вы примите мой ответ.
В первом случае ломаная вырождается либо в точку, либо в отрезок, либо в угол. Во втором случае - либо в отрезок, либо в угол.
Это прямо вытекает из Вашего построения. Еще два вырожденных случая можно получить взяв за начальные точки $(1,0,0)$ и $(-1,0,0)$. В этом случае замкнутая ломаная вырождается в два равных отрезка, исходящих из одной из этих точек (угол), либо же в отрезок.

[незваный гость]

AndAll писал(а):

В первом случае ломаная вырождается либо в точку, либо в отрезок, либо в угол. Во втором случае - либо в отрезок, либо в угол.

Дело в том, что вырожденная ломаная не интересна. Посмотрите сообщение TOTAL. Он показывает, как задача становится банальностью, если разрешить вырождение. И Dimoniada согласилась.

P.S. Я вовсе не гневаюсь. Это не эмоции, а внутренне присущая мне вредность.

[AndAll]

незваный гость писал(а):

Дело в том, что вырожденная ломаная не интересна. Посмотрите сообщение TOTAL. Он показывает, как задача становится банальностью, если разрешить вырождение. И Dimoniada согласилась.

Тем не менее, это решение задачи, может кому-то и не интересное. Но Вы сами выбрали предельные случаи, да и в первом примере начальная точка у Вас лежит сразу на двух окружностях. А разрешать или запрещать вырождение не в наших силах. В условиях задачи, во всяком случае, такого запрета нет.
Кстати, задача у нас так и осталась без решения. Может кто-нибудь представит хотя бы схему?

[sergey1]

Есть очень похожая задача, т.н. поризм Штейнера. Для доказательства пару данных окружностей инверсией переводят в пару концентрических, потом применяют поворот и т.д. Но здесь, похоже, такой прием не пройдет.

[незваный гость]

AndAll писал(а):

Тем не менее, это решение задачи, может кому-то и не интересное.

Дело не в том, интересно ли мне это решение задачи, или нет. Дело в другом: разрешение вырожденных случаев (совпадающих точек, отрезков нулевой длины) делает утверждение задачи очевидным, а большинство условий — ненужными. Действительно, такая ломаная всегда соединяет два непустых множества в произвольном метрическом пространстве: достаточно выбрать по точке в каждом из множеств и бегать туда-сюда.

AndAll писал(а):

А разрешать или запрещать вырождение не в наших силах. В условиях задачи, во всяком случае, такого запрета нет.

Большинство задач по геометрии не допускает вырождения: три точки на прямой не образуют треугольник, окружность всегда имеет положительный радиус, и т.п. Это почти никогда не упоминается в условии (хотя иногда и встречаются оговорки: возьмём пять точек в общем положении и им подобные).

AndAll писал(а):

Но Вы сами выбрали предельные случаи, да и в первом примере начальная точка у Вас лежит сразу на двух окружностях.

Я не выбирал никаких предельных случаев. Я выбрал две невырожденные окружности (касающиеся? но нигде в условиях не оговорено, что они не могут касаться), продемонстрировал наличие невырожденной ломаной. Выбрал точку на одной из окружностей. Согласно утверждению задачи, должна найтись ломаная, проходящая через эту точку, но мне её найти не удалось. Вот и всё.

Как и многие примеры в математике, мой пример можно было упростить. Например, спустя некоторое время я понял, что окружностям совсем не обязательно касаться друг друга. Удивляться наличию лишних условий в примерах не стоит: пока они не противоречивы и удовлетворяют условиям, всё в порядке.

Вот и дальнейшее упрощение: совсем не обязательно ломаным быть в пространстве: рассмотрим окружности $x^2+y^2 = 25$, $(x-3)^2 + y^2 = 1$. Тогда точки $(2,0)$, $(3,4)$, $(4,0)$, $(3,-4)$ образуют искомую ломаную. Требуется построить ломаную, проходящую через точку $(5,0)$.

Смысл таких примеров — понять, почему не работает утверждение задачи, или, наоборот, понять, как именно оно работает, нащупать путь к доказательству.

[незваный гость]

Вот, кстати, и плоды такого анализа: ломаную не удаётся подобрать для всех точек $(a,b)$ на окружности $x^2+y^2=25$, если $a > \frac{8+\sqrt{17}}{3}$ или $a < \frac{8-\sqrt{17}}{3}$. Согласитесь, трудно назвать предельным случаем.

[Dimoniada]

Да, я согласна. Значит не для всех точек на окр. можно построить такие л. Но их всё равно должно быть бесконечно много с началами в оставшихся точках... А то как-то плохо получается

[AndAll]

To незваный гость:
Вы меня полностью убедили, все, что Вы говорите – верно. Но есть некоторые «но»…
Все, что Вы говорите относится к теореме в формулировке, которую привела Dimoniada.
Можно ли считать эту формулировку полной и корректной?
Данная теорема является обобщением (а точнее, механическим перенесением для трех измерений) одной из ряда теорем о замыкании: Понселе, Штейнера, о зигзаге, а именно – последней. При этом полностью исчезли некоторые важные условия, необходимые для существования решения.

В. Ю. Протасов (МГУ). «Теоремы о замыкании и их геометрические доказательства».

Цитата:

Зигзаг-процесс (для плоскости). Даны окружности $\beta \,$ и $\,\delta $ , ни одна из них не содержит центр другой. Дано число $\ \rho > 0 $. Возьмем $D_1 \in \delta ,B_1 \in \beta $ такие, что $D_1 B_1 = \rho $. Далее, берем точку $D_2 \in \delta $, для которой $D_2 B_1 = \rho $ и $D_2 \ne D_1 $ (если таковой не существует, то $D_2 = D_1 $), затем точку $B_2 \in \beta $ такую, что $B_2 D_2 = \rho ,B_2 \ne B_1 $ (иначе $B_2 = B_1 $), и т.д. Зигзаг имеет период $n$если $D_{n + 1} = D_1 $.

Цитата:

Теорема о зигзаге. Если зигзаг периодичен для некоторой начальной точки $D_1 \in \delta $, то он имеет тот же период для любой начальной точки $D_1 \in \delta $ , из которой можно сделать первый шаг зигзага.

TOTAL писал(а):

Интересно, на какой из двух окружностей ломаная начинается? Про какие ломаные точно идет речь? А то в качестве примера ломаной вдруг появляется ломаная с нулевой длиной, ломаная с совпадающими вершинами. Короче, в формулировке задачи не все так безоблачно.

Очевидно, в теоремах такого типа нельзя выделять одну из окружностей, на которых лежит начало ломаной. Ограничения должны быть одни для обеих окружностей. Было бы странно искать окружность более круглую, чем другие Далее, при таком вольном «обобщении» скорее должны быть наложены дополнительные ограничения, нежели убраны существовавшие. Если Вы предполагаете поиск таких ограничений, то это правильно. Если же Вы хотите и дальше рассматривать некорректно поставленную задачу – то это Ваш выбор. То, что условия задачи некорректны, очевидно.
Кстати, в проективной геометрии допускается рассмотрение вырожденных фигур. Правда, в формулировке таких теорем это должно оговариваться.
К сожалению, Коксетера под рукой нет, книгу я смотрел лет 30 назад.

[незваный гость]

AndAll писал(а):

Все, что Вы говорите относится к теореме в формулировке, которую привела Dimoniada.
‹…›
Если Вы предполагаете поиск таких ограничений, то это правильно. Если же Вы хотите и дальше рассматривать некорректно поставленную задачу – то это Ваш выбор. То, что условия задачи некорректны, очевидно.

А меня-то за что? Перечитайте мои сообщения: я лишь анализировал формулировку Dimoniada, пытался указать на её неточность. Не более того.

[AndAll]

незваный гость писал(а):

:evil:
А меня-то за что? Перечитайте мои сообщения: я лишь анализировал формулировку Dimoniada, пытался указать на её неточность. Не более того.

Да я без каких-либо претензий к Вам, только подтверждаю эту неточность. Наверное не так выразился
Просто хотел сказать, что если бы формулировка теоремы была бы верной, то за начало ломаной можно принять любую точку на любой окружности, удовлетворяющей правильным условиям.