Корень из комплексного числа в алгебраической форме

[qx87]

Возможно ли это напрямую?

Формулу найти не могу.

Проблема возникла из-за того, что решаю простое кубическое уравнение (у него один иррациональный корень и два комплексных), и взятие корня третьей степени по формуле Муавра приводит меня по цепочке

$\cos \frac{\pi - \arctg \varphi}{3} \longrightarrow \tg \frac{\pi - \arctg \varphi}{3} \longrightarrow $\tg \frac{\arctg \varphi}{3}$

к выражению, с которым я не знаю, что делать ($\varphi$ - радикал).

[ИСН]

А какую Вы хотите формулу? Чтобы извлечь кубический корень, надо извлечь кубический корень. Если угодно найти в явном таком же виде $\sqrt[3]{a+bi}$, то это сводится к решению кубического уравнения, там формула-то есть, но в ней тоже кубический корень.

[qx87]

А как тогда с уравнением быть? Вроде же любое уравнение ниже пятой степени должно решаться в радикалах.

[ИСН]

Оно и решается. Вот Вам радикал, он же корень.

[qx87]

Нет, там ещё тангенс и арктангенс.

[ИСН]

Это то же самое.

[nnosipov]

qx87 в сообщении #1046747 писал(а):

решаю простое кубическое уравнение

Вы бы его написали здесь. Бывают разные ситуации с записью корней кубических уравнений.

[ewert]

qx87 в сообщении #1046747 писал(а):

(у него один иррациональный корень и два комплексных)

В этом случае тригонометрия не нужна, т.к. под кубическим корнем стоит вещественное число.

[Mavlik]

Попробуйте формулу Кардано использовать

[Evgenjy]

qx87 в сообщении #1046747 писал(а):

Возможно ли это напрямую?

Формулу найти не могу.

Видимо речь вот о чем. Есть уравнение $(x+yi)^3=a+bi$. Требуется выразить $x$ и $y$ из $a$ и $b$ через радикалы.
Одно комплексное уравнение 3-й степени соответствует действительной системе двух уравнений 3-й степени. Ее решение сведется к решению уравнения степени не ниже шестой (наверно девятой). Так что выразить через радикалы невозможно.
А вот для второй степени $(x+yi)^2=a+bi$ это можно.

[ИСН]

Что вы несёте.
Mavlik, я подозреваю, что топикстартер уже кое-что слышал о формуле Кардано; более того, что его проблемы с неё и начались.
Evgenjy, комплексное уравнение 3-й степени соответствует уравнению 3-й степени и решается так же, как уравнение 3-й степени. (Какая шестая? Откуда девятая?) Формула Кардано к Вашим услугам; Вряд ли Вы будете оспаривать, что она - в радикалах. А если Вам не нравится, что в процессе приходится извлекать кубические корни из комплексных чисел, то ведь ровно это же происходит и в тех случаях, когда мы решаем действительное уравнение 3-й степени, с полностью действительными коэффициентами и действительными корнями.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #1047994 писал(а):

Какая шестая? Откуда девятая?

Как я понял, речь о том, чтобы, считая $a$ и $b$ вещественными, решить систему уравнений $x^3-3xy^2=a$, $3x^2y-y^3=b$ в вещественных числах. После исключения одного из неизвестных действительно возникает уравнение 9-й степени. Но на самой деле оно кубическое, поскольку там все степени неизвестного кратны трём. Фишка в том, что дискриминант этого уравнения всегда положителен (за исключением тривиальных ситуаций). Как известно, в таком случае на выражение через только вещественные радикалы рассчитывать не приходится.

[ИСН]

Да, я так и понял. Это радует, что всё получилось как надо. Но мой пойнт был в том, что эту систему вовсе не стоит решать: уравнения меньше третьей степени там ожидать нельзя, а третьей - у нас и так уже есть. А то, что оно комплексное, ничего не значит. Они все комплексные.

[ewert]

ИСН в сообщении #1048016 писал(а):

Но мой пойнт был в том, что эту систему вовсе не стоит решать: уравнения меньше третьей степени там ожидать нельзя, а третьей - у нас и так уже есть.

Это неправильный пойнт и даже чек. Пафос был в том, что есть радикалы сугубо вещественные, а есть требующие ещё и тригонометрии. Evgenjy явно имел в виду именно это, да и ТС -- тоже. Вопрос вполне осмыслен. Другое дело, что совершенно непонятно, зачем конкретно ТС в его личном случае имел в виду именно это; но в данной ветке практически с самого начала и практически никому вообще ничего непонятно -- чего и нафига.

-- Сб авг 29, 2015 22:33:24 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1049165 писал(а):

Evgenjy явно имел в виду именно это, да и ТС -- тоже.

Пардон, я ещё одного товарища запамятовал. Некоего ИСН. Он тоже изначально говорил ровно об этом -- а потом зачем-то забыл...