Помогите доказать неравенство (положительность минора)

[trarbish]

Добрый день!
Существует матрица следующего вида:

$$\begin{pmatrix} a_{11}+a_{12}+b_{11}+b_{21} & -a_{12} & 0\\ -a_{12} & a_{12}+a_{13}+b_{12}+b_{22} & -a_{13} \\ 0 & -a_{13} & a_{13}+a_{14}+b_{13}+b_{23} \end{pmatrix}$$

Где $a_{ij}$ и $b_{ij}$ произвольные константы. Необходимо доказать, что если $a_{12}$ и $a_{13}$ больше нуля, а все остальные константы меньше нуля, то матрица является/не является положительно определенной. (Ответ уже известен, что она не является положительно определенной).
Я по критерию Сильвестра записал три угловых минора. Допустим, что матрица положительно определенная, тогда все миноры должны быть положительны. Первый минор дает оценку $a_{12}$ и $a_{13}$. Получается, что:
$\left\lvert a_{12}\right\rvert>\left\lvert a_{11}\right\rvert+\left\lvert b_{11}\right\rvert+\left\lvert b_{21}\right\rvert$;
$\left\lvert a_{13}\right\rvert>\left\lvert a_{14}\right\rvert+\left\lvert b_{13}\right\rvert+\left\lvert b_{23}\right\rvert$;
$\left\lvert a_{12}\right\rvert+\left\lvert a_{13}\right\rvert>\left\lvert b_{12}\right\rvert+\left\lvert b_{22}\right\rvert$
Второй минор тоже дает определенную оценку, но не такую красивую, как первый.
Третий минор должен получаться всегда отрицательным (я перебрал много комбинаций с помощью Matlab), но доказать аналитически отрицательность третьего минора никак не получается.

Буду благодарен за помощь!

[iancaple]

Да, она не будет положительно определенной. Представим эту матрицу $A$ как сумму двух вырожденных и одной диагональной, тогда квадратичная функция
$$(x\;y\;z)A(x\;y\;z)^T=a_{12}(x-y)^2+a_{13}(y-z)^2+d_1x^2+d_2y^2+d_3z^2$ имеет коэффициенты $d_1,d_2,d_3<0$, остается предъявить один такой набор $x,y,z$, при котором она отрицательна

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045253 писал(а):

Да, она не будет положительно определенной. Представим эту матрицу $A$ как сумму двух вырожденных и одной диагональной, тогда квадратичная функция
$$(x\;y\;z)A(x\;y\;z)^T=a_{12}(x-y)^2+a_{13}(y-z)^2+d_1x^2+d_2y^2+d_3z^2$ имеет коэффициенты $d_1,d_2,d_3<0$, остается предъявить один такой набор $x,y,z$, при котором она отрицательна

Спасибо за ответ! Можно попросить вас его пояснить? Как получается такая квадратичная функция? И что значит "остается предъявить один такой набор $x,y,z$ при котором она отрицательна" (если приравнять единице, то как раз получим отрицательную функцию)? Данная квадратичная форма может быть и положительной и отрицательной, разве нет? И последнее, разве $d_1,d_2,d_3$ меньше нуля?

[iancaple]

Вам надо посмотреть теорию: что такое матрица квадратичной формы, чему равно значение квадратичной формы на векторе. Какая матрица квадратичной формы $(x-y)^2$, в частности. Потом,что значит "положительно определена". Критерий Сильвестра не пригодится, сложные расчеты.

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045269 писал(а):

Вам надо посмотреть теорию: что такое матрица квадратичной формы, чему равно значение квадратичной формы на векторе. Какая матрица квадратичной формы $(x-y)^2$, в частности. Потом,что значит "положительно определена". Критерий Сильвестра не пригодится, сложные расчеты.

Да, спасибо, я уже начал смотреть. Не посоветуете хороший учебник по этому вопросу?

Пока нигде не встретил $(x-y)^2$ в таком виде. Это вы привели к каноническому виду?
Я вроде правильно понял, что положительно определенная только тогда, когда при любом наборе $x, y, z$ функция положительна. А тут получается не так.
И не могу понять, что вы обозначили переменными $d_{1}, d_{2}, d_{3}$...

[iancaple]

$$\begin{pmatrix} a_{11}+a_{12}+b_{11}+b_{21} & -a_{12} & 0\\ -a_{12} & a_{12}+a_{13}+b_{12}+b_{22} & -a_{13} \\ 0 & -a_{13} & a_{13}+a_{14}+b_{13}+b_{23} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{12} & -a_{12} & 0\\ -a_{12} & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+$$

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & a_{13} & -a_{13} \\ 0 & -a_{13} & a_{13}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}+b_{21} & 0 & 0\\ 0 & b_{12}+b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{14}+b_{13}+b_{23} \end{pmatrix}$$

Теперь считайте, если слева это умножить на строку $(x\;y\;z)$, а справа на столбец

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$$

что получится и чему равны $d_1,d_2,d_3$
Учебник - возможно хватит теоретического введения к этой теме в каком-нибудь задачнике по высшей математике

[ex-math]

Еще вариант -- угадать/подобрать такие значения переменных, при которых форма отрицательна.

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045277 писал(а):

Теперь считайте, если слева это умножить на строку $(x\;y\;z)$, а справа на столбец что получится и чему равны $d_1,d_2,d_3$
Учебник - возможно хватит теоретического введения к этой теме в каком-нибудь задачнике по высшей математике

Спасибо большое! Теперь понятно. Я сначала не знал, как именно нужно было разложить первоначальную матрицу на вырожденные и диагональную. Вы меня очень выручили!

ex-math в сообщении #1045347 писал(а):

Еще вариант -- угадать/подобрать такие значения переменных, при которых форма отрицательна.

Спасибо, но вроде этот вариант уже и предложили выше, разве нет?

iancaple в сообщении #1045253 писал(а):

остается предъявить один такой набор $x,y,z$, при котором она отрицательна

P.s. Прошу модераторов эту тему пока не закрывать, проверяю разные матрицы - поэтому могут появиться еще вопросы.

[ex-math]

trarbish
Можно было не представлять матрицу в виде суммы и т.п., а "методом тыка" подобрать значения. В вашем случае ясно, что если взять все переменные единицами, то значением формы будет сумма всех элементов матрицы, а в ней все положительные числа сокращаются.

[iancaple]

Так пафосно прозвучало "разложить первоначальную матрицу на вырожденные и диагональную", что можно было подумать, что это нечто классическое, как QR- или LU- разложения А я это сделал только для того, чтобы без ошибки в уме перемножить матрицы, разновидность лени.
И как заметил ex-math, если уж угадали значения вектора $(1,1,1)$, то доказать можно еще короче (тоже разновидность?).
Наконец, критерий Сильвестра тут показал себя с самой неудачной стороны. Сигнатура данной квадратичной формы может оказаться любой от $(2;1)$ до $(0;3)$ и про знак ни одного конкретного минора из трех ничего определенного сказать нельзя.

[trarbish]

ex-math в сообщении #1045621 писал(а):

trarbish
Можно было не представлять матрицу в виде суммы и т.п., а "методом тыка" подобрать значения. В вашем случае ясно, что если взять все переменные единицами, то значением формы будет сумма всех элементов матрицы, а в ней все положительные числа сокращаются.

"взять все переменные единицами" - вы имеете ввиду $a_{ij}$ и $b_{ij}$? Т.е. получится:

$$\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0\\ -1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$

Затем перемножив слева и справа на строку и вектор соответственно, получим квадратичную форму в виде многочлена, у которого все коэффициенты отрицательны?
Тоже вариант, да. Хотя как только мы выбрали какие-то определенные числа, то общность доказательства уменьшается.
Я все правильно понял, что вы предложили? Или вы имели ввиду $x, y, z$?

iancaple в сообщении #1045632 писал(а):

Наконец, критерий Сильвестра тут показал себя с самой неудачной стороны. Сигнатура данной квадратичной формы может оказаться любой от $(2;1)$ до $(0;3)$ и про знак ни одного конкретного минора из трех ничего определенного сказать нельзя.

Да, критерий Сильвестра в данном примере подвёл :) Я очень долго пытался что-то выдумать, но так и не вышло.

[ex-math]

trarbish в сообщении #1045717 писал(а):

Или вы имели ввиду $x, y, z$?

Да, их.

[trarbish]

ex-math в сообщении #1045737 писал(а):

Да, их.

Ясно, спасибо!

[Lia]

trarbish Для новых задач создавайте новые темы. Самостоятельно.
Последнее сообщение отделено в «Положительная определенность - 2»