2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 12:38 


19/05/14
45
Добрый день!
Существует матрица следующего вида:
$$\begin{pmatrix}
 a_{11}+a_{12}+b_{11}+b_{21} &  -a_{12} & 0\\
 -a_{12} &  a_{12}+a_{13}+b_{12}+b_{22} & -a_{13} \\
 0 & -a_{13} & a_{13}+a_{14}+b_{13}+b_{23}
\end{pmatrix}$$
Где $a_{ij}$ и $b_{ij}$ произвольные константы. Необходимо доказать, что если $a_{12}$ и $a_{13}$ больше нуля, а все остальные константы меньше нуля, то матрица является/не является положительно определенной. (Ответ уже известен, что она не является положительно определенной).
Я по критерию Сильвестра записал три угловых минора. Допустим, что матрица положительно определенная, тогда все миноры должны быть положительны. Первый минор дает оценку $a_{12}$ и $a_{13}$. Получается, что:
$\left\lvert a_{12}\right\rvert>\left\lvert a_{11}\right\rvert+\left\lvert b_{11}\right\rvert+\left\lvert b_{21}\right\rvert$;
$\left\lvert a_{13}\right\rvert>\left\lvert a_{14}\right\rvert+\left\lvert b_{13}\right\rvert+\left\lvert b_{23}\right\rvert$;
$\left\lvert a_{12}\right\rvert+\left\lvert a_{13}\right\rvert>\left\lvert b_{12}\right\rvert+\left\lvert b_{22}\right\rvert$
Второй минор тоже дает определенную оценку, но не такую красивую, как первый.
Третий минор должен получаться всегда отрицательным (я перебрал много комбинаций с помощью Matlab), но доказать аналитически отрицательность третьего минора никак не получается.

Буду благодарен за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 14:38 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Да, она не будет положительно определенной. Представим эту матрицу $A$ как сумму двух вырожденных и одной диагональной, тогда квадратичная функция
$$(x\;y\;z)A(x\;y\;z)^T=a_{12}(x-y)^2+a_{13}(y-z)^2+d_1x^2+d_2y^2+d_3z^2$ имеет коэффициенты $d_1,d_2,d_3<0$, остается предъявить один такой набор $x,y,z$, при котором она отрицательна

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 15:16 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045253 писал(а):
Да, она не будет положительно определенной. Представим эту матрицу $A$ как сумму двух вырожденных и одной диагональной, тогда квадратичная функция
$$(x\;y\;z)A(x\;y\;z)^T=a_{12}(x-y)^2+a_{13}(y-z)^2+d_1x^2+d_2y^2+d_3z^2$ имеет коэффициенты $d_1,d_2,d_3<0$, остается предъявить один такой набор $x,y,z$, при котором она отрицательна

Спасибо за ответ! Можно попросить вас его пояснить? Как получается такая квадратичная функция? И что значит "остается предъявить один такой набор $x,y,z$ при котором она отрицательна" (если приравнять единице, то как раз получим отрицательную функцию)? Данная квадратичная форма может быть и положительной и отрицательной, разве нет? И последнее, разве $d_1,d_2,d_3$ меньше нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 16:04 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Вам надо посмотреть теорию: что такое матрица квадратичной формы, чему равно значение квадратичной формы на векторе. Какая матрица квадратичной формы $(x-y)^2$, в частности. Потом,что значит "положительно определена". Критерий Сильвестра не пригодится, сложные расчеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 16:11 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045269 писал(а):
Вам надо посмотреть теорию: что такое матрица квадратичной формы, чему равно значение квадратичной формы на векторе. Какая матрица квадратичной формы $(x-y)^2$, в частности. Потом,что значит "положительно определена". Критерий Сильвестра не пригодится, сложные расчеты.


Да, спасибо, я уже начал смотреть. Не посоветуете хороший учебник по этому вопросу?

Пока нигде не встретил $(x-y)^2$ в таком виде. Это вы привели к каноническому виду?
Я вроде правильно понял, что положительно определенная только тогда, когда при любом наборе $x, y, z$ функция положительна. А тут получается не так.
И не могу понять, что вы обозначили переменными $d_{1}, d_{2}, d_{3}$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 16:28 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
$$\begin{pmatrix}
 a_{11}+a_{12}+b_{11}+b_{21} &  -a_{12} & 0\\
 -a_{12} &  a_{12}+a_{13}+b_{12}+b_{22} & -a_{13} \\
 0 & -a_{13} & a_{13}+a_{14}+b_{13}+b_{23}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 a_{12} &  -a_{12} & 0\\
 -a_{12} &  a_{12} & 0 \\
 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+$$
$$\begin{pmatrix} 0 &  0 & 0\\
 0 &  a_{13} & -a_{13} \\
 0 & -a_{13} & a_{13}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
 a_{11}+b_{11}+b_{21} &  0 & 0\\
 0 &  b_{12}+b_{22} & 0 \\
 0 & 0 & a_{14}+b_{13}+b_{23}
\end{pmatrix}$$
Теперь считайте, если слева это умножить на строку $(x\;y\;z)$, а справа на столбец $$\begin{pmatrix} x \\  y \\  z\end{pmatrix}$$ что получится и чему равны $d_1,d_2,d_3$
Учебник - возможно хватит теоретического введения к этой теме в каком-нибудь задачнике по высшей математике

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение14.08.2015, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Еще вариант -- угадать/подобрать такие значения переменных, при которых форма отрицательна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение16.08.2015, 14:33 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045277 писал(а):
Теперь считайте, если слева это умножить на строку $(x\;y\;z)$, а справа на столбец что получится и чему равны $d_1,d_2,d_3$
Учебник - возможно хватит теоретического введения к этой теме в каком-нибудь задачнике по высшей математике

Спасибо большое! Теперь понятно. Я сначала не знал, как именно нужно было разложить первоначальную матрицу на вырожденные и диагональную. Вы меня очень выручили!
ex-math в сообщении #1045347 писал(а):
Еще вариант -- угадать/подобрать такие значения переменных, при которых форма отрицательна.

Спасибо, но вроде этот вариант уже и предложили выше, разве нет?
iancaple в сообщении #1045253 писал(а):
остается предъявить один такой набор $x,y,z$, при котором она отрицательна

P.s. Прошу модераторов эту тему пока не закрывать, проверяю разные матрицы - поэтому могут появиться еще вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение16.08.2015, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
trarbish
Можно было не представлять матрицу в виде суммы и т.п., а "методом тыка" подобрать значения. В вашем случае ясно, что если взять все переменные единицами, то значением формы будет сумма всех элементов матрицы, а в ней все положительные числа сокращаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение16.08.2015, 15:54 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Так пафосно прозвучало "разложить первоначальную матрицу на вырожденные и диагональную", что можно было подумать, что это нечто классическое, как QR- или LU- разложения :-) А я это сделал только для того, чтобы без ошибки в уме перемножить матрицы, разновидность лени.
И как заметил ex-math, если уж угадали значения вектора $(1,1,1)$, то доказать можно еще короче (тоже разновидность?).
Наконец, критерий Сильвестра тут показал себя с самой неудачной стороны. Сигнатура данной квадратичной формы может оказаться любой от $(2;1)$ до $(0;3)$ и про знак ни одного конкретного минора из трех ничего определенного сказать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение16.08.2015, 21:06 


19/05/14
45
ex-math в сообщении #1045621 писал(а):
trarbish
Можно было не представлять матрицу в виде суммы и т.п., а "методом тыка" подобрать значения. В вашем случае ясно, что если взять все переменные единицами, то значением формы будет сумма всех элементов матрицы, а в ней все положительные числа сокращаются.

"взять все переменные единицами" - вы имеете ввиду $a_{ij}$ и $b_{ij}$? Т.е. получится:
$$\begin{pmatrix}
-2 &  -1 & 0\\
 -1 &  -2 & -1 \\
 0 & -1 & -2
\end{pmatrix}$$
Затем перемножив слева и справа на строку и вектор соответственно, получим квадратичную форму в виде многочлена, у которого все коэффициенты отрицательны?
Тоже вариант, да. Хотя как только мы выбрали какие-то определенные числа, то общность доказательства уменьшается.
Я все правильно понял, что вы предложили? Или вы имели ввиду $x, y, z$?
iancaple в сообщении #1045632 писал(а):
Наконец, критерий Сильвестра тут показал себя с самой неудачной стороны. Сигнатура данной квадратичной формы может оказаться любой от $(2;1)$ до $(0;3)$ и про знак ни одного конкретного минора из трех ничего определенного сказать нельзя.

Да, критерий Сильвестра в данном примере подвёл :) Я очень долго пытался что-то выдумать, но так и не вышло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение16.08.2015, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
trarbish в сообщении #1045717 писал(а):
Или вы имели ввиду $x, y, z$?
Да, их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение17.08.2015, 06:54 


19/05/14
45
ex-math в сообщении #1045737 писал(а):
Да, их.

Ясно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенство (положительность минора)
Сообщение17.08.2015, 08:55 
Модератор


20/03/14
11513
 i  trarbish Для новых задач создавайте новые темы. Самостоятельно.
Последнее сообщение отделено в «Положительная определенность - 2»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group