две окружности и звездообразная ломаная

[Dimoniada]

Господа, не подскажите, как подступиться к решению такой задачи :
В пространстве даны 2 окр. и 2n-звенная замкнутая ломаная (вершин 2n). Причём, все звенья её равны и "чётные" вершины ломаной лежат на одной окружности, "нечётные" - на другой.
Необходимо доказать, что тогда существует бесконечно много таких 2n-равнозвенных замкнутых ломанных и в качестве их начал можно взять любую точку на той окр., где начиналась первая наша ломаная.

[нг]

Вы никакое условие не пропусили?

[Dimoniada]

Конечно нет Это теорему "о зигзаге" встретила у уважаемого И.Ф.Шарыгина (но она не его). Хочется доказать...

[незваный гость]

А "таких" (в условии) имеется в виду — как вышеописанная ломаная с вершинами на разных окружностях? Или просто 2-n "равнозвенных", как Вы пишите?

[Dimoniada]

В "таких" - значит, как вышеописанная.

[незваный гость]

А пример можно? Возьмем две равных окружности, касающиеся друг-друга и лежащие в перпендикулярных плоскостях, причём прямая, проходящая через центры проходит через точку касания. Наша ломаная проходит через диаметры окружностей, перпендикулярные прямой. Возьмём теперь точку касания. Вопрос: как будет выглядеть ломанная, проходящая через неё?

[Dimoniada]

Незваный гость, ошибки в условии нет А в качестве ответа на ваш вопрос можно взять (самое простое) 2n-зам. ломанную со всеми вершинами в вашей точки касания (длина звена-0!). Или же, чтобы вам было легче представить, то можно взять любые 2 точки на одной окр., симм. линии центров, и соединить их с т. касания (получиться равнобедренный тр-ик без основания) и гонять по этим рёбрам 2n раз

[TOTAL]

Dimoniada писал(а):

Необходимо доказать, что тогда существует бесконечно много таких 2n-равнозвенных замкнутых ломанных и в качестве их начал можно взять любую точку на той окр., где начиналась первая наша ломаная.

Интересно, на какой из двух окружностей ломаная начинается? Про какие ломаные точно идет речь? А то в качестве примера ломаной вдруг появляется ломаная с нулевой длиной, ломаная с совпадающими вершинами. Короче, в формулировке задачи не все так безоблачно.

[Dimoniada]

Dimoniada писал(а):

Незваный гость, ошибки в условии нет А в качестве ответа на ваш вопрос можно взять (самое простое) 2n-зам. ломанную со всеми вершинами в вашей точке касания (длина звена-0!). Или же, чтобы вам было легче представить, то можно взять любые 2 точки на одной окр., симм. линии центров, и соединить их с т. касания (получиться равнобедренный тр-ик без основания) и гонять по этим рёбрам 2n раз

Ошиблась: "ходить" не 2n раз, а 4n раз, чтобы получилась замкнутая =*)

Добавлено спустя 7 минут 9 секунд:

Re: Задача по геометрии.

TOTAL писал(а):

Dimoniada писал(а):

Необходимо доказать, что тогда существует бесконечно много таких 2n-равнозвенных замкнутых ломанных и в качестве их начал можно взять любую точку на той окр., где начиналась первая наша ломаная.

Интересно, на какой из двух окружностей ломаная начинается? Про какие ломаные точно идет речь? А то в качестве примера ломаной вдруг появляется ломаная с нулевой длиной, ломаная с совпадающими вершинами. Короче, в формулировке задачи не все так безоблачно.

Ломаных с совпадающими вершинами не бывает? Ломаных с "0" длинами звеньев не бывает? Некоторые теоремы допускают частные случаи. Например когда окр. стягивается в точку, или наоборот распрямляеться в прямую... Примеров много таких

[TOTAL]

Dimoniada писал(а):

Ломаных с совпадающими вершинами не бывает? Ломаных с "0" длинами звеньев не бывает? Некоторые теоремы допускают частные случаи. Например когда окр. стягивается в точку, или наоборот распрямляеться в прямую... Примеров много таких

Тогда воспользуйтесь своим же рецептом. Возьмите произвольную точку на одной окружности и произвольную точку на другой окружности. Теперь бегайте от одной точки к другой сколько надо раз. Довольны такой ломаной?

[Dimoniada]

Да. В принципе, это решение. Тогда скажем так: начальная ломаная не имеет совпадающих вершин, и тогда существует бесконечно много "аналогичных" ломаных с не(!) совпадающими вершинами.
Тогда, придёться придумать нормальный пример ответа на вопрос Незваного гостя... Всё таки заставил задуматься и в результате чего пример придумался . А именно, возьмём две хорды, параллельные диаметрам, имеющие равные длины, но лежащие в разных окр. Одна из них сдвинута ближе к т. касания, а другая наоборот - удалена дальше (на такое же расстояние от т. касания)...
Вроде всё.

Добавлено спустя 10 минут 4 секунды:

Правда с точкой касания всё равно плохо получается.

Добавлено спустя 7 минут 7 секунд:

То есть, для некоторых точек можно построить только с совпадающими вершинами 2n-ломаные а для остальных - нормальные

[AndAll]

незваный гость писал(а):

:evil:
А пример можно? Возьмем две равных окружности, касающиеся друг-друга и лежащие в перпендикулярных плоскостях, причём прямая, проходящая через центры проходит через точку касания. Наша ломаная проходит через диаметры окружностей, перпендикулярные прямой. Возьмём теперь точку касания. Вопрос: как будет выглядеть ломанная, проходящая через неё?

Существенным условием здесь является то, что уже имеются такие окружности и ломаная. В задаче не предполагается, что такое построение возможно для любых окружностей.
Если существует одна такая ломаная для некоторых двух окружностей, то существует еще бесконечно много.

[незваный гость]

AndAll писал(а):

Существенным условием здесь является то, что уже имеются такие окружности и ломаная. В задаче не предполагается, что такое построение возможно для любых окружностей.
Если существует одна такая ломаная для некоторых двух окружностей, то существует еще бесконечно много.

Поправьте меня, пожалуйста. Я привёл пример с ломанной и двумя окружностями. Но Dimoniada утверждала нечто большее:

Dimoniada писал(а):

и в качестве их начал можно взять любую точку на той окр., где начиналась первая наша ломаная.

TOTAL, спасибо. Отличный ответ любителям вырожденных отрезков.

На самом деле, конечно, случай касающихся окружностей — это самый утрированный. Можно подвинуть одну окружность, сохраняя остальные свойства. Всё равно, точка пересечения линии центров мне кажется «плохой».

[Someone]

Мне помнится, я где-то такую задачу встречал, но окружности там лежали на плоскости, одна внутри другой.

[AndAll]

незваный гость писал(а):

:Поправьте меня, пожалуйста. Я привёл пример с ломанной и двумя окружностями. Но Dimoniada утверждала нечто большее:

Dimoniada писал(а):

и в качестве их начал можно взять любую точку на той окр., где начиналась первая наша ломаная.

.

Это тоже несущественно. За начальную точку можно взять любую точку на любой из окружностей, которые удовлетворяют условиям задачи.

Someone писал(а):

Мне помнится, я где-то такую задачу встречал, но окружности там лежали на плоскости, одна внутри другой.

Мне тоже встречалась эта задача, на плоскости. Боюсь ошибиться, но, возможно у Коксетера.