Алгебраическое суммирование близких величин

[Fgolm]

Здравствуйте!
При численном решении полевой задачи возникает классическая проблема суммирования двух близких по величине, но противоположных по знаку полей. Соответственно незначительная погрешность вычислений каждой составляющей приводит к сильной погрешности результата суммирования. Подскажите, как поступают в таких случаях.

[Brukvalub]

Как может быть такое: "незначительная погрешность вычислений каждой составляющей приводит к сильной погрешности результата суммирования"? Очевидно, что абсолютная погрешность суммы всегда не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, а их только две, и они обе - "незначительные"!

[grizzly]

Представляется само собой разумеющимся, что речь идёт об относительной погрешности.

Fgolm в сообщении #1044609 писал(а):

Подскажите, как поступают в таких случаях.

Ну здесь сложно предложить что-то небанальное. Или увеличить точность до необходимой или попытаться преобразовать каким-то образом использованные математические выражения (классический же пример: при вычислении $e^{-x}, x>0,$ разложением в ряд сперва вычислить $e^x$, а потом уже делить на это единицу; так мы избавляемся от знакопеременности слагаемых).

[Pphantom]

Fgolm в сообщении #1044609 писал(а):

При численном решении полевой задачи возникает классическая проблема суммирования двух близких по величине, но противоположных по знаку полей. Соответственно незначительная погрешность вычислений каждой составляющей приводит к сильной погрешности результата суммирования. Подскажите, как поступают в таких случаях.

Универсальный рецепт (но, боюсь, малопригодный в конкретном случае именно ввиду универсальности) - перед счетом преобразовать выражения к виду, при котором потребность в вычислении разности близких величин пропадет. А для чего-то более конкретного нужна более конкретная постановка задачи.

[SY1234]

Fgolm
Посмотрите книжку Дж. Форсайта "Машинные методы математических вычислений" 1980-го года, начиная с пункта 2.4 Неустойчивость некоторых алгоритмов.

[Fgolm]

Brukvalub
пример: допустим вычисления дают следующие значения 2250-2248=2
Пусть второе число является точным (задано, а не получено в результате вычислений или вычисляется с заведомо высокой точностью), а первое является результатом сложных вычислений. Допустим я увеличиваю дискретизацию в своей задаче и получаю изменение первого числа на 1% (второе число не изменилось): 2227,5-2248=-20,5. Какой из результатов правильный?
grizzly, Pphantom
Решается численно трёхмерная задача на распределение вихревых токов в проводнике сложной формы. Индуктор создаёт первичное поле, которое возбуждает в проводнике вихревые токи, поле которых противоположно по знаку первичному. Необходимо найти суммарное поле. Первичное поле считается довольно точно, а поле вихревых токов находится сложным образом и зависит от дискретизации расчётной области. В ходе расчётов я решал модельную задачу: уменьшал пропорционально размеры расчётной области и устанавливал достаточное разбиение. Затем увеличивал эту область до требуемых размеров с сохранением шага разбиения. Оказалось, что разбиений получается слишком много для моего компьютера. То есть пока не могу обеспечить требуемого разбиения. Но я подумал, может есть какой-то способ, чтобы по мере увеличения разбиения результат суммирования менялся по крайней мере "плавно". Чтобы хотябы увидеть к чему он стремится

[Pphantom]

Fgolm в сообщении #1044720 писал(а):

Допустим я увеличиваю дискретизацию в своей задаче и получаю изменение первого числа на 1% (второе число не изменилось): 2227,5-2248=-20,5. Какой из результатов правильный?

Оба правильные. Формально Вы же получаете не один результат, а интервал допустимых результатов.

Fgolm в сообщении #1044720 писал(а):

Но я подумал, может есть какой-то способ, чтобы по мере увеличения разбиения результат суммирования менялся по крайней мере "плавно". Чтобы хотябы увидеть к чему он стремится

Нет, более того, Вы можете столкнуться с тем, что при увеличении размеров сетки результаты начнуть "скакать" сильнее. Нужно придумывать какую-то регуляризацию для вычисления вихревых токов.