При построении поверхности для
бралось две копии
-плоскости, с каждой из копий ассоциировалась половина
-плоскости, после копии
-плоскостей сшивались по разрезам и тем самым между полученной римановой поверхностью по
и комплексной плоскостью по
функцией
устанавливалось взаимно-однозначное соответствие.
В случае же функции
тоже приходится брать две копии
-плоскости, однако теперь каждую из них уже нельзя будет проассоциировать с половиной
-плоскости - при обходе точки
образ траектории тоже обходит
. Что же делать? Брать две копии
-плоскости и выделять однозначные ветви функции через ассоциирование каждой копии
-плоскости с копией
-плоскости? Тогда получится, что функция
будет устанавливать взаимно-однозначное соответствие между римановой поверхностью в виде двух непересекающихся
-плоскостей и двух непересекающихся
-плоскостей. Можно ли так? Спрашиваю потому, что во всех примерах, которые я видел, риманова поверхность отображалась на всю
-плоскость.
Здесь попутно ещё возникает вопрос, что делать с точкой
и можно ли сшить в одной этой точке копии
-плоскостей (и то же самое при этом сделать с плоскостями по
). С одной стороны, при проходе через
траектория сможет перейти с одного листа на другой. С другой - точка ветвления определяется сменой листов при обходе точки по окружностям малых радиусов, а не при проходе через саму точку.
Спасибо.