2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 риманова поверхность для функции sqrt(z^2)
Сообщение08.08.2015, 16:26 


08/08/15
7
При построении поверхности для $w = \sqrt{z}$ бралось две копии $z$-плоскости, с каждой из копий ассоциировалась половина $w$-плоскости, после копии $z$-плоскостей сшивались по разрезам и тем самым между полученной римановой поверхностью по $z$ и комплексной плоскостью по $w$ функцией $w = \sqrt{z}$ устанавливалось взаимно-однозначное соответствие.

В случае же функции $w  = \sqrt{z^2}$ тоже приходится брать две копии $z$-плоскости, однако теперь каждую из них уже нельзя будет проассоциировать с половиной $w$-плоскости - при обходе точки $z = 0$ образ траектории тоже обходит $w = 0$. Что же делать? Брать две копии $w$-плоскости и выделять однозначные ветви функции через ассоциирование каждой копии $z$-плоскости с копией $w$-плоскости? Тогда получится, что функция $\sqrt{z^2}$ будет устанавливать взаимно-однозначное соответствие между римановой поверхностью в виде двух непересекающихся $z$-плоскостей и двух непересекающихся $w$-плоскостей. Можно ли так? Спрашиваю потому, что во всех примерах, которые я видел, риманова поверхность отображалась на всю $w$-плоскость.

Здесь попутно ещё возникает вопрос, что делать с точкой $z = 0$ и можно ли сшить в одной этой точке копии $z$-плоскостей (и то же самое при этом сделать с плоскостями по $w$). С одной стороны, при проходе через $z = 0$ траектория сможет перейти с одного листа на другой. С другой - точка ветвления определяется сменой листов при обходе точки по окружностям малых радиусов, а не при проходе через саму точку.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: риманова поверхность для функции sqrt(z^2)
Сообщение08.08.2015, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2319
МО
Взаимно-однозначного не может по определению, а так да, два экземпляра плоскости. Для чего тут вообще риманову поверхность напрягать? и так же все просто.

-- Сб авг 08, 2015 21:41:39 --

Пардон, может, не вчитался, но все равно незачем это.

 Профиль  
                  
 
 Re: риманова поверхность для функции sqrt(z^2)
Сообщение08.08.2015, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Это просто две независимые функции. Примерно как ветви $e^z $, которые различаются множителем $e^{2\pi niz} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: риманова поверхность для функции sqrt(z^2)
Сообщение09.08.2015, 00:13 


08/08/15
7
Использую римановы поверхности для этой задачи, чтобы разобраться, как они строятся в более сложных. Например, для функции $\sqrt[4]{z^2}$ в книжном примере риманова поверхность состоит из двух пар листов, в каждой паре можно переходить с листа на лист, но сами пары независимы - с одной пары на другую нельзя перейти ни с одного листа. Если можно строить такую поверхность, то логично, что можно строить и для $\sqrt{z^2}$ так, как я описал. Всё отличие от $\sqrt[4]{z^2}$ в том, что пара листов заменяется одним листом, но мне это не кажется принципиальным. В том же примере не оговаривалось, куда происходит отображение построенной поверхности. Интуиция подсказывает, что в пару непересекающихся комплексных плоскостей. Но тогда такой же результат должен быть и для функции $\sqrt{z^2}$. Поэтому и спрашиваю...

 Профиль  
                  
 
 Re: риманова поверхность для функции sqrt(z^2)
Сообщение09.08.2015, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Если листы независимы, то их можно рассматривать как две отдельные функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: риманова поверхность для функции sqrt(z^2)
Сообщение11.08.2015, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12496
Школа подсказывает, что $\sqrt{z^2}=\pm z$...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group