Уравнения с частными производными: с чего начать?

[nevskaya]

С чего начать решение задачи:

Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R. Внутри шара, начиная с момента времени t = 0, действует источник тепла с постоянной плотностью Q, а поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура шара равна нулю.

Заранее спасибо всем, кто откликнется.

[Brukvalub]

Прочитать соответствующие части учебника, например, Тихонов А.Н., Самарский А.А. — Уравнения математической физики

[nevskaya]

Хотелось бы разобраться с начальными и граничными условиями и с методом.. Вы можете помочь?

[Brukvalub]

Напишите о Ваших затруднениях, тогда станет понятно, какая нужна помощь. Пока я воспринял Ваш первый пост так: "Вот моя задача, решите ее мне".

[nevskaya]

Нет, это не так.. Все дело в том, что я могу решить уравнение с частными производными, но не могу, имея физическую задачу, поставить математическую.

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

Поэтому прошу помочь мне, а не решать задачу за меня.

[Brukvalub]

В параграфе 2 главы 6 указанной мной книги рассмотрены методы решения задач о распространении тепла в ограниченных областях пространства. Вы пробовали использовать указанные там подходы?

[Профессор Снэйп]

nevskaya писал(а):

...действует источник тепла с постоянной плотностью Q...

А что такое "плотность источника тепла"? Как-то странно это звучит, особенно учитывая тот факт, что источник точечный.

Может, $Q$ --- это мощность источника тепла? Ну или объясните, что тогда имелось в виду, если я не прав.

nevskaya писал(а):

поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура шара равна нулю.

Имелся в виду абсолютный ноль или что-то другое?

[ИСН]

Профессор Снэйп, не цепляйтесь к мелочам. Абсолютный там ноль, или по Цельсию - в рамках данного приближения нинафиг не важно. А что источник точечный - это Вы первый сказали, в условии такого нет.

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

Профессор Снэйп, не цепляйтесь к мелочам. Абсолютный там ноль, или по Цельсию - в рамках данного приближения нинафиг не важно. А что источник точечный - это Вы первый сказали, в условии такого нет.

Я не цепляюсь, я и правда не понимаю Хотя с нулём теперь понял: там, наверное, важна разность температур, а не сами температуры.

[Zai]

nevskaya писал(а):

Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R. Внутри шара, начиная с момента времени t = 0, действует источник тепла с постоянной плотностью Q, а поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура шара равна нулю.

В сферической системе координат нестационарное уравнение теплопроводности имеет вид:
$ C \frac { \partial T} { \partial t}= k \frac 1 {r^2} \frac { \partial } { \partial r} (r^2 \frac { \partial T } { \partial r})+Q
Начальные условия $T(r,0)=0
Граничные условия $\frac { \partial T} { \partial r}(0,t)=0,T(R,t)=0
Попробуйте метод разделения переменных.

[Sergiy_psm]

nevskaya писал(а):

Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R. Внутри шара, начиная с момента времени t = 0, действует источник тепла с постоянной плотностью Q, а поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура шара равна нулю.

Задачу проще решить исспользуя электростатическую аналогию (теорема Гаусса). В задачнике Фейнмана есть подобная задача про Земной шар.

[nevskaya]

Zai писал(а):

Граничные условия $\frac { \partial T} { \partial r}(0,t)=0,T(R,t)=0

Сомневаюсь насчет первого граничного.. По крайней мере, оно не должно равняться нулю. Потому что источник тепла внутри все-таки есть..
И еще не понятно почему именно производная T по r от (0,t), а не просто T(0,t).

[Gafield]

Тут вопрос, в каком виде нужен (устроит) ответ? Самое простое - записать в виде интеграла для функции Грина G(x,y,t) первой краевой задачи. Для построения G ключевые слова "метод отражений". Я думаю, она будет записываться в виде двух слагаемых, точно также, как для уравнения Пуассона в шаре.

[nevskaya]

Не.. я о таком даже не слышала)
Если интересует ответ, то вот:
$U(r,t)$=$\frac {Q}{6k}$(R^2-r^2)+ \frac{2QR^3}{\Pi^{3}kr} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} e^{- \frac{n^2 \Pi^2 a^2}{R^2}} \sin { \frac{n \Pi r}{R}}

[Brukvalub]

Судя по ответу, он получен именно в результате решения уравнения теплопроводности в сферических координатах разделением переменных.