Уравнение с параметром

[Twidobik]

Доброго времени суток!
Пожалуйста, не могли бы вы подсказать, как правильно решить следующее задание:
При каких значениях параметра $a$ уравнение
$\left| {{x^2} - a\left| x \right| + 4} \right| = {a^2}$
решений не имеет?

Пытался решать графически, но, на сколько я понял, вершина параболы в зависимости от параметра двигается по диагонали, поэтому рисунок мне особо ничего не дал.
Аналитическое решение придумал такое:
${\left( {{x^2} - a\left| x \right| + 4} \right)^2} = {a^4}$
$\left( {{x^2} - a\left| x \right| + 4 - {a^2}} \right)\left( {{x^2} - a\left| x \right| + 4 + {a^2}} \right) = 0$
Первая скобка не равна нулю при $a \in \left( { - \frac{4}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$, вторая не равна нулю ни при каких $a$.
Но я практически уверен, что это решение неверно, но другого придумать ничего не могу.

[ex-math]

Первое уравнение относительно $|x|$ может иметь отрицательные корни, которым не отвечает никакой $x $. Учтите это.

[redicka]

Почему же? График помогает.
$a\in (-2;\frac{4}{5}\sqrt{5}) $

[мат-ламер]

Попробовать найти минимум выражения

Twidobik в сообщении #1043503 писал(а):

$\left| {{x^2} - a\left| x \right| + 4} \right|}$

[Someone]

мат-ламер в сообщении #1043630 писал(а):

Попробовать найти минимум выражения

Twidobik в сообщении #1043503 писал(а):

$\left|{x^2}-a\left|x\right|+4\right|$

Уточняю: наименьшее значение по $x$ при постоянном $a$ (при $a\leqslant 0$ и при $a>0$ это наименьшее значение находится немного по-разному).

Возможно и чисто алгебраическое решение. Если обозначить $t=\lvert x\rvert$, $t\geqslant 0$, то данное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений $t^2-at+4=a^2$ и $t^2-at+4=-a^2$, которые надо исследовать на предмет наличия неотрицательных корней.

[ex-math]

Someone в сообщении #1043637 писал(а):

надо исследовать на предмет наличия неотрицательных корней.

О чем ТС уже было сказано.

[Twidobik]

Благодарю за помощь! Я не учел вот этого

ex-math в сообщении #1043515 писал(а):

Первое уравнение относительно $|x|$ может иметь отрицательные корни, которым не отвечает никакой $x $. Учтите это.

Далее все решилось аналитически довольно просто.

Someone в сообщении #1043637 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1043630 писал(а):

Попробовать найти минимум выражения

Twidobik в сообщении #1043503 писал(а):

$\left|{x^2}-a\left|x\right|+4\right|$

Уточняю: наименьшее значение по $x$ при постоянном $a$ (при $a\leqslant 0$ и при $a>0$ это наименьшее значение находится немного по-разному).

Сейчас я и пытаюсь разобраться с минимумами. Ведь если $a > 4$, то график ведет себя несколько иначе и меня это как-то путает.
Просто имеется немного усложненная версия этого задания
$\left| {\left| {{x^2} - a\left| x \right|} \right| - 4} \right| = {a^2}$
и хочется понять, как ведет себя функция в левой части в зависимости от параметра, но там вообще жуть какая-то.

[iancaple]

Twidobik в сообщении #1043694 писал(а):

Просто имеется немного усложненная версия этого задания
$\left| {\left| {{x^2} - a\left| x \right|} \right| - 4} \right| = {a^2}$
и хочется понять, как ведет себя функция в левой части в зависимости от параметра, но там вообще жуть какая-то.

Наоборот,это проще. Когда вопрос: "имеется ли хоть одно решение",можно сэкономить на графиках и говорить о множествах вида"точная область значений"
1.У $\left| {{x^2} - a\left| x \right|} \right|$ это $[0,\infty)$
2. Из пункта 1, и только из него, точная область значений $\left| {\left| {{x^2} - a\left| x \right|} \right| - 4} \right|$-тоже$[0,\infty)$- в отличие от предыдущей задачи, это множество вообще не зависит от $a$
3. Такого $a$, чтобы $a^2$ не принадлежала $[0,\infty)$-нет