ДУ первого порядка (общее и частное решения ДУ)

[Мироника]

Вот такая задачка: Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений этого уравнения: $y'= \frac {y+1} {x-1}$.
Решаю и получаю вот такой ответ $y= (x-1)c-1$.
И у меня два вопроса: 1) нужно ли в ответе указывать, что решение найдено при $x \neq 1$?
2) Как построить графики двух различных частных решений? Задать два различных значения константы и построить соответствующие прямые? и нужно ли на графике выкалывать $x=1$?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

И у меня два вопроса: 1) нужно ли в ответе указывать, что решение найдено при $x \neq 1$?

Это ясно из условия, но от такого указания хуже не будет.

Мироника писал(а):

2) Как построить графики двух различных частных решений? Задать два различных значения константы и построить соответствующие прямые? и нужно ли на графике выкалывать $x=1$?

Именно так я бы и сделал.

[Someone]

И при каждом $c$ мы имеем два решения: одно на интервале $(-\infty,1)$, другое - на интервале $(1,+\infty)$.

[Мироника]

Получилась вот такая красота при $c=1$ и $c=-2$

[Henrylee]

Красота будет, если все решения нарисовать

[Brukvalub]

Someone писал(а):

И при каждом $c$ мы имеем два решения: одно на интервале $(-\infty,1)$, другое - на интервале $(1,+\infty)$.

Стоит присмотреться к совету Someone.

[Мироника]

Честно говоря, я не очень поняла то, что написал Someone. Почему нельзя сказать, что $y=x-2$ является частным решением при $c=1$ с разрывом при $x=1$? Почему здесь именно два решения?

Например, если функция задана так: $f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 1, if x<1 \\ 2, if x\geqslant 1 \end{array} \right. $. То мы же не говорим, что это две функции. А говорим, что функция имеет разрыв при $x=1$.

[Brukvalub]

Вам стоит повторить определение частного решения д.у.

[Мироника]

Беру второй том Пискунова и читаю:
"Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция $y=\varphi (x,C)$, которая зависит от одного произвольного постоянного $C$ и удовлетворяет следующим условиям:
а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного $C$;
б) каково бы ни было начальное условие $y=y_0$ при $x=x_0$, т.е. $y \left| _{x=x_0} =y_0$, можно найти такое значение $C=C_0$, что функция $y= \varphi (x,C_0)$ удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения $x_0$ и $y_0$ принадлежат к той области изменения переменных $x$ и $y$, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения"
"Определение 2. Частным решением называется любая функция $y= \varphi (x,C_0)$, которая получается из общего решения $y= \varphi (x,C)$, если в последнем произвольному постоянному $C$ придать определенное значение $C=C_0$."
Далее идет пример:
"Пример. Для уравнения первого порядка $ \frac {dy} {dx} =- \frac {y} {x}$ общим решением будет семейство функций $y= \frac {C} {x}$; это можно проверить простой подстановкой в уравнение.
Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному условию: $y_0=1$ при $x_0=2$. Подставляя эти значения $x_0$ и $y_0$ в формулу $ y= \frac {C} {x}$, получим $1= \frac {C} {2}$ или $C=2$. Следовательно, искомым частным решением будет функция $y= \frac {2} {x}$.
...
в последнем примере общий интеграл геометрически изображается семейством гипербол $y= \frac {C} {x}$, а частный интеграл, определенный указанным начальным условием, изображается одной из этих гипербол, проходящей через точку $M_0(2;1)$."
"Замечание. Уравнение $\frac {dy} {dx} =- \frac {y} {x}$ не имеет решения, проходящего через точку, лежащую на оси $Oy$, так как правая часть уравнения при $x=0$ не определена и, следовательно, не является непрерывной."
Из всего выше изложенного не могу сделать вывод, при каждом $C$ имеем два решения...
Откуда это видно?

[Brukvalub]

Речь идет о том, что ничто не обязывает считать два куска, разорванных в точке 1, но задаваемых одной формулой, считать одним решением д.у. Ведь каждый из этих кусков удовлетворяет определению решения самостоятельно, и непонятно, почему, взяв какое-нибудь решение слева от точки1, мы должны продолжать его после точки 1 по той же формуле. Но, подозреваю, нарисованная Вами картинка устроит большинство преподавателей, так что смело сдавайте ее. Я и сам бы принял такое решение. Оно корректно с точки зрения определений в учебниках для тех. Вузов.

[Мироника]

Теперь понятно. Спасибо большое

[Someone]

Н.М.Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. "Высшая школа", Москва, 1967.

Цитата:

Предположим, что правая часть уравнения
$\frac{dy}{dx}=f(x,y)\qquad\eqno{(2)}$
определена на некотором подмножестве $A$ вещественной плоскости $(x,y)$. Функцию $y=y(x)$, определённую в интервале $(a,b)$, мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале, если:
1) Существует производная $y'(x)$ для всех значений $x$ из интервала $(a,b)$. (Отсюда следует, что решение $y=y(x)$ представляет собой функцию, непрерывную во всей области определения).
2) Функция $y=y(x)$ обращает уравнение (2) в тождество:
$y'(x)=f(x,y(x)$,
справедливое для всех значений $x$ из интервала $(a,b)$. Это означает, что при любом $x$ из интервала $(a,b)$ точка $(x,f(x))$ принадлежит множеству $A$ и $y'(x)=f(x,y(x)$.

Вообще, мы можем определить решение дифференциального уравнения не на интервале, а на объединении двух непересекающихся интервалов. Но нужно помнить, что части этого решения на разных интервалах, вообще говоря, никак не связаны. В Вашем случае можно было бы рассматривать такие решения:

$$y=\begin{cases}C_1(x-1)-1\text{ при }x<1\text{,}\\ C_2(x-1)-1\text{ при }x>1\text{.}\end{cases}$$

Тогда решений будет гораздо больше.

Но если Ваше уравнение переписать в виде $(x-1)y'=y+1$, то $y=C(x-1)-1$ будет решением на всей числовой оси. Однако в точке $x=1$ нельзя задавать начальное условие $y|_{x=1}=y_0$.

Книжка Пискунова, как правильно пишет Brukvalub, предназначена для технических ВУЗов, и в детали особо не вдаётся.

[Мироника]

Да я поняла. В Пискунове действительно про непрерывность ничего не говорится

Someone писал(а):

1) Существует производная $y'(x)$ для всех значений $x$ из интервала $(a,b)$. (Отсюда следует, что решение $y=y(x)$ представляет собой функцию, непрерывную во всей области определения).