Решётка и квадрат

[nnosipov]

Пусть $k$ --- натуральное число, не кратное $3$. Рассмотрим решётку $\Lambda$ точек $(\alpha,\beta) \in \mathbb{Z}^2$, задаваемую сравнением

$$3k\alpha + (k-3)\beta \equiv 0 \pmod{2k^2 + 2k + 3}.$$

Найдите наибольшее натуральное число $d$, для которого квадрат $|\alpha|+|\beta| \leqslant d$ не содержит никаких точек решётки $\Lambda$, кроме $(0,0)$.

[iancaple]

Векторы $\vec{v_1}=(k,-k-1)$ и $\vec{v_2}=(k+3,k-2)$ принадлежат решетке, т.к. каждый удовлетворяет сравнению. Проверяем, что параллелограмм, натянутый на них- минимальный, то есть внутри него нет точек решетки. Иначе линейная комбинация $a\vec{v_1}+b\vec{v_2}$ с рациональными, заключенными от 0 до 1 коэффициентами, давала бы 2 целых координаты.
$ak+bk+3b$ - целое
$-ak+bk-2b-a$ - целое, $a+b$, $a-b$- целые. единственный вариант $a=b=\dfrac 12$, но и при нем при $k$, не кратном 3, противоречие.
Выбираем, у какого из двух векторов меньше сумма модулей координат, $d=2k+1$
Да,еще надо проверить, что этот минимальный параллелограмм и 3 смежных хорошо расположены по отношению к квадрату (имеют не слишком острые углы), для $k>3$ это геометрически очевидно, $k=1,2$ надо отдельно смотреть.
А как надо было?

[nnosipov]

Можно чисто алгебраически, манипулируя сравнениями.

Докажем, что $d=2k$. Пусть $3k\alpha+(k-3)\beta=l(2k^2+2k+3)$, где $l \geqslant 0$. Поскольку

$$ |3k\alpha+(k-3)\beta| \leqslant 3k(|\alpha|+|\beta|) \leqslant 6k^2, $$

имеем $l \in \{0,1,2\}$. Заметим, что $-3\beta \equiv 3l \pmod{k}$, откуда $\beta=mk-l$. Так как $|\beta| \leqslant 2k$, то $|m| \leqslant 2$ (случай $k=1$ следует рассмотреть отдельно). Итак,

$$ (\alpha,\beta)=((2l-m)k/3+l+m,mk-l). $$

Значит, $(l,m) \in \{(0,0),(1,-1),(1,2),(2,-2),(2,1)\}$, т.е.

$$ (\alpha,\beta) \in \{(0,0),(k,k+1),(3,2k-1),(2k,-2k-2),(k+3,k-2)\}. $$

Видно, что условие $|\alpha|+|\beta| \leqslant 2k$ выполнено только для $(\alpha,\beta)=(0,0)$.

Следует отметить, что условие $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ существенно.

[iancaple]

Согласен, $d=2k$, потому что неравенство в условии нестрогое. Все решение разбилось на 2 этапа: 5 минут- визуализация всех этих решеток для $k=1,..20$, и 1 час- попытка объяснить, почему они устроены так, как я вижу.
У Вас это лучше вышло.

[nnosipov]

Спасибо за внимание к этой теме. Задача относится к геометрии чисел и связана с понятием критического определителя для данной области (в данном случае речь идёт о квадрате). Трёхмерные аналоги существенно интереснее, но для олимпиад вряд ли пригодны (много вычислений).