Отражение при интерференции

[Sicker]

А луч конечного поперечного сечения подчиняется уравнениям Максвелла?
Те если взять обычную синусоидальную волну бесконечной ширины, и обрезав, сделать ее конечной ширина, то она будет удовлетворять уравнениям Максвелла?

[Cos(x-pi/2)]

Конечно же нет. Гауссов-то пучок и тот является лишь приближённым решением волнового уравнения.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1041863 писал(а):

Гауссов-то пучок и тот является лишь приближённым решением волнового уравнения.

Нет, точным. Почему я его и предложил.

[Sicker]

А свет от фонарика или лазера он что, уравнениям Максвелла не подчиняется?

[amon]

Munin в сообщении #1041983 писал(а):

Нет, точным.

По-моему, все-таки приближенным. Кажется, это называется параболическим приближением, когда пренебрегают второй производной.

Sicker в сообщении #1041991 писал(а):

А свет от фонарика или лазера он что, уравнениям Максвелла не подчиняется?

Это как Вы к такому смелому выводу пришли? ;)

[Sicker]

amon в сообщении #1042017 писал(а):

Это как Вы к такому смелому выводу пришли? ;)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1041863 писал(а):

Конечно же нет.

[amon]

Sicker в сообщении #1042026 писал(а):

Конечно же нет.

Так это про

Sicker в сообщении #1041860 писал(а):

взять обычную синусоидальную волну бесконечной ширины, и обрезав, сделать ее конечной ширины

, а если пучок гладко спадает, то он вполне может распространяться в малом телесном угле. Правда, написание аналитических выражений для таких пучков составляет отдельный предмет научной деятельности.

[Sicker]

amon
А вот скажем, если мы рассмотрим явление флуоресценции, то поле не впишется в динамику Максвелла? Те это явление обусловлено квантовыми явлениями, да и вообще любое излучение тел

[Munin]

Sicker в сообщении #1042058 писал(а):

А вот скажем, если мы рассмотрим явлению флюриорисценции

то получим двойку по русскому языку.

[amon]

Sicker в сообщении #1042058 писал(а):

А вот скажем, если мы рассмотрим явлению флюриорисценции, то поле не впишется в динамику Максвелла?

Тут такая петрушка. Можно написать уравнения Максвелла в среде, но традиционно считается, что то, что зовется уравнениями Максвелла линейно. С этой точки зрения флюоресценция уравнениями Максвелла не описывается (меняется частота излучения, а линейные уравнения частоту сохраняют). С другой стороны, существует масса супер-пупер-квантовых явлений, линейных (или прекрасно описывающихся в линейном приближении) по ЭМ полю. Такие явления прекрасно загоняются в диэлектрические и прочие проницаемости уравнений Максвелла.

[Cos(x-pi/2)]

amon в сообщении #1042017 писал(а):

По-моему, все-таки приближенным. Кажется, это называется параболическим приближением, когда пренебрегают второй производной.

Да, именно так. Гауссов пучок - приближённое решение классического волнового уравнения. Ссылки на книжки не привожу; кому необходимо, тот сам легко нагулит, а краткий вывод формулы для гауссова пучка опишу (бумажка с выводом у меня как раз перед глазами на столе валяется: намедни как раз проверял эту формулу перед численным счётом).

(Вывод формулы гауссовского пучка)

Решение $\Psi$ классического волнового уравнения

$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0$

ищем в виде:

$\Psi(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{ikx-i\omega t}$ ,

где $\omega=ck.$

Такое решение описывает "плоскую волну", распространяющуюся вдоль оси $x,$ с амплитудной "огибающей" $u.$

Мы хотим найти решение, у которого огибающая убывала бы с расстоянием довольно быстро в поперечных направлениях $(y,z,$ "узкий пучок") и при этом почти не менялась бы в продольном направлении ($x,$ "почти не расходящийся пучок"). Длина волны считается малой по сравнению с интересующими нас расстояниями, так что волновое число $k=2\pi/\lambda$ - большая величина. Подстановка указанной функции $\Psi$ в волновое уравнение ведёт к уравнению для огибающей:

$2ik \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$ .

И вот тут (внимание!) мы переходим к приближённому уравнению - отбрасываем член $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$ Т.е. далее мы ищем точное решение, но уже приближённого уравнения:

$2ik \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$ .

Переписав его в виде

$i\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{2k} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) $ ,

замечаем полное сходство с "волновым уравнением Шрёдингера" квантовой механики для частицы с величиной $k$ в роли массы $m,$ совершающей свободное 2-мерное движение в плоскости $y,z,$ но только здесь роль времени $t$ играет переменная $x,$ а постоянная Планка $\hbar$ равна единице:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) $ .

Хорошо известно (и легко проверяется), что частные решения этого уравнения КМ имеют вид бегущих плоских волн:

$\exp \left( \frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot \vec{r}-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2m}t \right)$ ,

а общее решение можно представить суперпозицией таких частных решений с произвольными (в меру произвольности начальных условий) коэффициентами $C(\vec{p}),$ (где $\vec{p}$ и $\vec{r}$ - двумерные векторы с y- и z-компонентами):

$\psi(\vec{r},t)=\int \frac{d^2 \vec{p}}{(2 \pi \hbar)^2}\,C(\vec{p})\,e^{\frac{i}{\hbar} \left( \vec{p}\cdot \vec{r}-\frac{p^2}{2m}t \right)}$ .

Коэффициенты $C(\vec{p})$ можно задать как коэффициенты Фурье для начальной волновой функции $\psi(t=0):$

$C(\vec{p})=\int d^2 \vec{r}\, \, e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot \vec{r}} \, \psi(t=0)$ .

Подставим сюда "гауссовский колокол" $\psi(t=0)=A\exp \left( -\frac{y^2+z^2}{w^2} \right),$ где $w$ - параметр ширины, $A$ - произвольная амплитуда. Каждый из двух имеющихся в $C(\vec{p})$ однократных интегралов с бесконечными пределами по $y$ и $z$ элементарно "берётся" с помощью известной формулы

$$\int_{-\infty}^{\infty}ds\, \exp\left( \dfrac{-s^2}{a^2}+bs \right)=\sqrt{\pi}\,a\, \exp \left( \frac{(ab)^2}{4} \right) \, , \qquad (*)$$

так что для $C(\vec{p})$ получается тоже гауссова экспонента - с квадратичным по $\vec{p}$ показателем. Поэтому с помощью той же формулы $(*)$ элементарно вычисляется двукратный интеграл для $\psi(\vec{r},t)$ по $p_y$ и $p_z$ с бесконечными пределами; в итоге имеем:

$\psi(\vec{r},t)=A \,\dfrac{w^2}{(w^2+i\frac{2\hbar t}{m})} \, \exp \left( -\dfrac{y^2+z^2}{w^2+i\frac{2\hbar t}{m}} \right)$ .

В КМ это одно из точных решений 2-мерного нестационарного ("волнового") уравнения Шредингера; такая волновая функция описывает неподвижный гауссов волновой пакет, расплывающийся с течением времени $t.$

А в волновой оптике эта функция (с заменой $\hbar/m$ на $1/k$ и $t$ на $x)$ имеет смысл огибающей $u(x,y,z)$ в приближённом решении 3-мерного классического волнового уравнения. Такого типа решение и называют гауссовским пучком:

$\Psi(x,y,z,t)=A\,\frac{w^2}{(w^2+i\frac{2x}{k})} \, e^{-\frac{y^2+z^2}{w^2+i\frac{2x}{k}}}\, e^{ikx-i\omega t}$ .


Заодно поясню, по каким формулам строились приведённые выше картинки гауссовских пучков. Сначала каждый множитель в комплексном решении $\Psi$ надо представить в виде $\text{модуль} \cdot e^{i\, \text{фаза}},$ тогда вся функция $\Psi$ тоже запишется в показательной форме:

$\Psi(x,y,z,t)=|\Psi| \, e^{i\Phi}$ .

Затем переходим к вещественному решению взятием действительной части от этой комплексной функции; и, кроме того, полагаем $t=0$ и $z=0$

$\psi(x,y)=\operatorname{Re} \Psi(x,y,0,0)=| \Psi(x,y)|\cos(\Phi(x,y))$ .

Если для краткости обозначить $X=\dfrac{2x}{kw^2}$ и $\varphi=-\arctg (X),$ то имеем:

$\psi(\vec{r})=A\,\dfrac{1}{\sqrt{1+X^2}}\, \exp \left(-\frac{y^2}{w^2(1+X^2)}\right) \, \cos (\Phi)$ , где:

$\Phi=\dfrac{y^2X}{w^2(1+X^2)}+\varphi+kx$ .

Теперь у нас $\vec{r}$ означает радиус-вектор произвольной точки в плоскости с декартовыми координатами $x,y.$ Чтобы получить формулу для повёрнутого пучка, т.е. для пучка, подвергнутого действию оператора поворота $\hat R,$ пользуемся стандартным (и довольно очевидным) правилом преобразования скалярного поля:

$\psi_{\text{повернутое}}(\vec{r})=\hat R \psi(\vec{r})=\psi(\hat R^{-1}\vec{r})$ .

Так, чтобы повернуть конфигурацию $\psi(x,y)$ вокруг оси $z$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, сначала выписываем выражения для компонент радиус-вектора $\hat R^{-1}\vec{r},$ повёрнутого на угол $\alpha$ по часовой стрелке:

$x'=x\cos \alpha+y\sin\alpha$ ,
$y'=-x\sin \alpha+y\cos\alpha$ ,

и затем подставляем эти выражения соответственно на место переменных $x$ и $y$ в $\psi(x,y).$ Получившееся выражение будет описывать функцию $\psi_{\text{повернутое}}(x,y).$ Аналогично, для сдвига полевой конфигурации на какую-либо величину $y_0$ вдоль оси $y$ надо заменить в формуле поля переменную $y$ на переменную $y-y_0.$

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1042096 писал(а):

ищем в виде:

$\Psi(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{ikx-i\omega t}$ ,

Пардон, я под гауссовым пучком подразумевал не это. Отсюда и недопонимание. Видимо, вы лучше знаете значение этого термина.

Я же говорил о чём-то вроде $\mathcal{F}^{-1}[($ гауссиана по угловым координатам $\mathbf{k}$ $)\times\delta(|\mathbf{k}|-k_0)]e^{-i\omega t}.$

-- 01.08.2015 22:36:40 --

P. S. Разница на глаз, думаю, невелика.

[Cos(x-pi/2)]

Munin, да нет, ничего я лучше не знаю; просто глянул в первую попавшуюся книжку по оптике и обрадовался, что помимо занудных дифракционных интегралов есть такая элементарная игрушка.

[Munin]

Ну, за вас и amon вон ещё :-)

[Cos(x-pi/2)]

Дак мы же с amon земляки :-)

Munin в сообщении #1042097 писал(а):

P. S. Разница на глаз, думаю, невелика.

Тоже так думаю. Да и по сути-то вопроса нюансы тут не важны: какими бы ни были "краевые эффекты" в пучке, дифракционная расходимость неизбежна, и сплошного поперечного тёмного пятна при интерференции близких пучков не возникает ни в какой разумной модели.