тип положения равновесия для ДУ

[tpm01]

Подскажите как определить тип положения равновесия для уравнения, например $-e^{2 \cdot \dot{x}}-x^3=0$?
устойчивость/не устойчивость, вроде как поняла, уравнение преобразовала к виду $\frac{dx}{dt}=f(x)$
Нахожу положение равновесия $f(x)=0$, для данного уравнения $x=-1$. Оцениваю: справа от положения равновесия функция $f(x)=0$ отрицательная, убывает, значит положение равновесия устойчиво.
А как тип определить? Везде для систем 2-х уравнений, а здесь одно...

[ИСН]

А что такое тип?

[tpm01]

там предлагаются варианты центр, седло, узел и т.д.

[ИСН]

Да-да, конечно. Вот я и хотел бы услышать для начала, скажем, что такое седло.

[tpm01]

ИСН, когда собственные значения матрицы (если линейная система) вещественны, отличны от нуля, одного знака и различны. Если нелинейная, то собственные значения якобиана. Если не ошибаюсь. Но уравнение то одно...

[ИСН]

Ага. Так. Это уже ближе к делу. А какой матрицы-то?

[tpm01]

ИСН, если уравнение $\frac{d \vec{z} }{dt}=A\cdot \vec{z}$, то матрицы $A$.
Вы намекаете на то, что задание может быть некорректно, например, вместо производной первого порядка там должна быть производная второго порядка, тогда бы уравнение сводилось к системе?
Дело в том, что я изучаю эту тему по видео-лекциям и учебникам, с живым человеком могу об этом поговорить только здесь, к сожалению.

[ИСН]

То есть какой размерности матрица в Вашем случае? И сколько у неё собственных чисел? И может ли быть, например, одно из них положительно, а другое - отрицательно?
Вот примерно на это и намекаю, да.

[tpm01]

ИСН, я об этом подозревала, но автору теста доверяю все больше чем себе, я же только пытаюсь научиться (да и то время от времени, если выпадает свободное время), поэтому и вероятность ошибиться у меня куда больше. Спасибо, теперь все стало на свои места.

[Otta]

tpm01
Седло, узел и т.д. - это классификация особых точек только в двумерной ситуации, для фазового пространства размерности два.

В Вашем случае, в одномерном, совершенно ясно, что такого многообразия поведения фазовых траекторий быть не может. Им негде на прямой. Есть три основных типа поведения - все траектории с течением времени "втыкаются" в особую точку, все - выходят из нее и траектории "проходят сквозь": вошла и тут же вышла. В зависимости от этого особая точка называется устойчивой, неустойчивой и полуустойчивой. Это все варианты.

[tpm01]

Otta, спасибо огромное! Теперь все ясно, у меня в лекциях только для двумерной ситуации было.