Нахождение изображения (преобразование Лапласа)

[Endor]

Подскажите, пожалуйста, изображение функции $\frac{\cos bt-\cos at}{t}$ нужно искать, применяя теорему умножения оригиналов или существует какой-либо другой способ?

[4arodej]

Вы о графике функций?

[Brukvalub]

Нет, речь идет о нахождении преобразования Лапласа. Я бы превратил числитель в произведение синусов и работал с произведением оригиналов.

[Padawan]

Продифференцируйте искомый интеграл по параметру a

[Brukvalub]

Padawan писал(а):

Продифференцируйте искомый интеграл по параметру a

Если это учебная задача, в решить которую требуется имено методами операционного исчисления (судя по применяемой в условии терминологии - дело обстоит как раз так), дифференцирование по параметру вряд ли "прокатит"

[Vidoc]

Предлагаю использовать свойство интегрирования изображения:

\[\frac{{f(t)}}{t} \doteq \int\limits_p^\infty {F(p)dp}\]

\[f(t) = \cos (bt) - \cos (at)\]

\[ \int\limits_p^\infty {\frac{{\rho d\rho }} {{\rho ^2 + b^2 }}} - \int\limits_p^\infty {\frac{{\rho d\rho }} {{\rho ^2 + a^2 }}} = \frac{1} {2}\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to \infty } \left[ {\left. {\ln \left| {\rho ^2 + b^2 } \right|} \right|_p^\sigma - \left. {\ln \left| {\rho ^2 + a^2 } \right|} \right|_p^\sigma } \right] = \frac{1} {2}\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to \infty } \ln \frac{{\left| {\sigma ^2 + b^2 } \right|}} {{\left| {\sigma ^2 + a^2 } \right|}} + \frac{1} {2}\ln \frac{{\left| {p^2 + a^2 } \right|}} {{\left| {p^2 + b^2 } \right|}} = \frac{1} {2}\ln \frac{{\left| {p^2 + a^2 } \right|}} {{\left| {p^2 + b^2 } \right|}} \]

\[ \[ \frac{{\cos (bt) - \cos (at)}} {t} \doteq \frac{1} {2}\ln \frac{{\left| {p^2 + a^2 } \right|}} {{\left| {p^2 + b^2 } \right|}} \]

или я где то ошибаюсь?

[Endor]

О, спасибо большое! Всё сходится.
Я совсем про это свойство забыл. Надо было мне учебник прочесть...

[Someone]

Vidoc писал(а):

или я где то ошибаюсь?

Ошибаетесь. Нельзя писать разность расходящихся интегралов, с которой Вы начинаете. И ещё, насколько необходимы знаки абсолютной величины в Вашем выражении?