Поверхностная гравитация

[EvilPhysicist]

Где-то ошибаюсь в рассуждениях при вычислении поверхностной гравитации, а где -- не могу понять.

Если я правильно понимаю, чтобы найти поверхностную гравитацию нужно взять времениподобный вектор Киллинга и найти где он становится светоподобным, то есть найти Киллингов горизонт. Ну и поверхностной гравитацией называем производную вектора Киллинга по нормали к горизонту. То есть если $\zeta^\mu$ -- вектор Киллинга, то поверхностной гравитацией $k$ назовем величину$\zeta^\mu D_{\mu} \zeta^\nu = k \zeta^\nu$, вычисленную на горионте.

Сразу вопрос, я не ошибся в определении? По крайней мере мне не совсем понятно, почему в общем случае можно определять поверхностную гравитацию через формулу $\zeta^\mu D_{\mu} \zeta^\nu = k \zeta^\nu$, ведь вектор Киллинга может быть не нормален к своему горизонту.

Ну и почему мне кажется, что я ошибаюсь. Хочу я посчитать поверхностную гравитацию ЧД Шваршильда. Везде в книгах это делают в координатах Френкеля $ds^2 = (1-\cfrac{2M}{r})d\nu^2 -2 d\nu ~dr -r^2 d\Omega^2$, но нигде не делают в координатах Шваршильда. Более того, если в координатах Шваршильда взять времениподобный вектор Киллинга, например $k^\mu=(1,0,0,0)$, то по формуле $\zeta^\mu D_{\mu} \zeta^\nu = k \zeta^\nu$ получится, что поверхностная гравитация равна нулю:

$$ \zeta^\mu D_\mu \zeta^\nu \to \zeta^0 \partial_0 \zeta^0 + k^0 k^0 \Gamma_{00}^0=0 $$

.

Так вот, ошибка в данном мной определении? Если да, то как надо определять поверхностную гравитацию?

[epros]

EvilPhysicist в сообщении #1041201 писал(а):

Хочу я посчитать поверхностную гравитацию ЧД Шваршильда.

Хм, мне вот тоже интересно. Поле Киллинга для решения Шварцшильда, насколько я помню, только одно и оно везде направлено вдоль Шварцшильдовской координаты $t$ (и над, и под горизонтом). Таким образом, следуя определению, "Киллинговым горизонтом" следует считать тот же самый горизонт ЧД. Мне очень любопытно, что здесь предлагается называть "нормалью к горизонту", ежели известно, что оный горизонт -- светоподобная поверхность.

А координаты, разумеется, никакого значения иметь не должны, ибо все определения даны в инвариантных терминах.

[EvilPhysicist]

Вот, кстати, кусок из книги Биррелла и Дэвиса


Вообще поверхностную гравитацию определяют через метрику.

Еще есть хорошая статья Pierre-Henry Lambert, Introduction to Black Hole Evaporation.
В которой говорится по сути тоже самое, разве что утверждатся, что вектор Киллинга должен быть нормален к своему горизонту. Но вычисления, опять же, проделаны не в координатах Шваршильда.

[EvilPhysicist]

Так, я не очень понял что я сделал и почему так, но получилось что-то вменяемое.

Что я делал: брал нормально к горизонту; брал производную от поля Киллинга по нормали к горизонту; поверхностную гравитацию определял так: $n^\mu D_\mu k^\nu = k n^\nu$, где $n^\mu$ -- нормаль, $k^\mu$ -- вектор Киллинга.

Делал это с метрикой $ds^2 = \Delta(r) dt^2 - \cfrac{\sigma^2(r) dr^2}{\Delta(r)} -r^2 d\Omega^2 $, где $\Delta \to 1$, $\sigma\to 1$ при $r\to\infty$. Горизонт это поверхность уровня $u=0$, где $u$ -- опережающая координата $du = dt - \cfrac{\sigma}{\Delta} dr$. Нормаль к горизонту $n_\mu = (1; -\sigma/\Delta;0;0)$, $n^\mu=(1/\Delta; 1/\sigma;0;0)$.

Тогда производная от вектора Киллинга по нормали к горизонту

$$n^\mu D_\mu k^\nu = \cfrac{1}{\Delta} \sim \Gamma^\nu_{00}+\cfrac{1}{\sigma} \Gamma^\nu_{01} \sim \begin{pmatrix} \cfrac{\Delta'}{2\sigma\Delta} \\ \cfrac{\Delta'}{2\sigma^2} \\0\\0 \end{pmatrix} \sim \cfrac{\Delta'}{2\sigma} n^\mu $$

То есть, как и предпологалось, производная по нормали от вектора Киллинга сонаправленна с вектором нормали. Коэффициент пропорциональности и является поверхностной гравитацией.

На сколько я понимаю, в статье

EvilPhysicist в сообщении #1041230 писал(а):

статья Pierre-Henry Lambert, Introduction to Black Hole Evaporation
.

делается тоже самое, но там с самого начала вектор Киллинга в данных координатах совпадает с нормальным, поэтому вычисления имеют такой вид, какой имеют.

[Geen]

epros в сообщении #1041207 писал(а):

Мне очень любопытно, что здесь предлагается называть "нормалью к горизонту", ежели известно, что оный горизонт -- светоподобная поверхность.

Касательную к нему же.

-- 29.07.2015, 16:14 --

Нашёл вот такое:
http://www.physics.uoguelph.ca/poisson/research/agr.pdf раздел 5.2.4 (страница 141).

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #1041201 писал(а):

если в координатах Шваршильда взять времениподобный вектор Киллинга, например $k^\mu=(1,0,0,0)$, то

Аккуратней с модулем.

[epros]

Geen в сообщении #1041270 писал(а):

epros в сообщении #1041207 писал(а):

Мне очень любопытно, что здесь предлагается называть "нормалью к горизонту", ежели известно, что оный горизонт -- светоподобная поверхность.

Касательную к нему же.

Мне чудится или здесь предлагаются способы дифференцирования поля с особенностями по особенным образом определённому направлению? Просто любопытно было бы посмотреть, как Вы:
1) В координатах, скажем, Крускала-Секереша для решения Шварцшильна нарисуете поле векторов Киллинга.
2) Попробуете его продифференцировать вдоль горизонта.