Аксиома отделимости Т2

[Braga]

Как доказать, что топологическое пространство удовлетворяет $T_2$ в том и только в том случае, если каждая точка $x$ равна пересечению замыканий всех её окрестностей?

Аналогичная задача для аксиомы $T_1$, только в ней пересечение не замыканий, а просто окрестностей. Её решал (импликация слева направо) так:

Пусть $y \in U$, для некоторой окрестности $U$. Согласно аксиоме $T_1$ существует для $x$ такая окрестность $V$, что $y$ не принадлежит $V$, следовательно $y$ не лежит в $V \cap U$. Так как $y$ было выбрано случайно, то имеем, что пересечение всех окрестностей равно точке $x$. Обратная импликация тоже легко.

Но этот же прием не работает в случае с хаусдорфовым топологическим пространством. Как с ним быть?

[Someone]

Braga в сообщении #1040887 писал(а):

Пусть $y \in U$, для некоторой окрестности $U$. Согласно аксиоме $T_1$ существует для $x$ такая окрестность $V$, что $y$ не принадлежит $V$, следовательно $y$ не лежит в $V \cap U$. Так как $y$ было выбрано случайно, то имеем, что пересечение всех окрестностей равно точке $x$. Обратная импликация тоже легко.

Ничего не понял из вашего "доказательства. Что за "икс" с "игреком", что за окрестности? Что доказывается?

[Braga]

Пардон :) читайте обновленный вариант:

Аналогичная той задаче, которую у меня не выходит решить, есть и для аксиомы $T_1$, которая звучит очень похоже:
Топологическое пространство удовлетворяет аксиоме $T_1$ в том и только в том случае, если каждая его точка $x$ есть пересечение всех её окрестностей.

Выбираем точку $x$ произвольно и хотим показать, что пересечение всех её окрестностей есть одноэлементное множество $\lbrace x \rbrace$. Пусть $U$ - некоторая окрестность x и пусть $y \in U$ произвольная точка этой окрестности такая, что $x \neq y$. Тогда существует, согласно аксиоме $T_1$ такая окрестность $x$ $V$, что $y$ не лежит в $V$. В таком случае, если $\lbrace U_{\alpha} \rbrace_{\alpha \in A} $ множество всех окрестностей точки х, то $\cap_{\alpha \in A} U_{\alpha} \subset V \cap U$ и $y$ не принадлежит $V \cap U$, следовательно не принадлежит и $\cap_{\alpha \in A} U_{\alpha}$. Так как окрестность $U$ и точка $y$ были выбраны произвольно, то отсюда следует, что $\cap_{\alpha \in A} U_{\alpha}=\lbrace x \rbrace$

Применить тот же самый метод для решение первой задачи, в которой выступает хаусдорфово топологическое пространство, у меня не выходит, хотя кажется, будто что-то должно быть очень подобное.

[Someone]

Зачем нужна окрестность $U$? Без неё проще.

Braga в сообщении #1040922 писал(а):

кажется, будто что-то должно быть очень подобное.

Да, очень подобное. Почистите своё рассуждение от ненужных окрестностей и подумайте, как его модифицировать для хаусдорфова пространства.

[Braga]

Дайте, пожалуйста, точнее наводку

[Someone]

Выкиньте из доказательства окрестность $U$, а взамен введите обозначение для того топологического пространства, о котором Вы говорите.