Доказательство теоремы Кантора-Бернштейна

[RonHabard]

Просьба проверить, верно ли доказательство.

Пусть заданы две биекции ${f \colon X \to Y_1}$ и ${g \colon Y \to X_1}$. Пусть также заданы такие множества

$$X_2=g(f(X))=g(Y_1) \subset X_1,$$

$$Y_2=f(g(Y))=f(X_1) \subset Y_1.$$

Таким образом $X_2 \subset X_1$, откуда справедливо $X_2 \sim X$; в свою очередь $Y_2 \subset Y_1 \Rightarrow Y_2 \sim Y.$ Теперь пусть $\forall k \in \mathbb{N}: X_{k+2} \subset S$ есть образ $X_k$ при композиции $f \circ g$. Тогда

$$S \supset X_1 \supset X_2 \supset ... \supset X_k \supset X_{k+1} ... = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} X_k = S. \qquad (1)$$

Теперь можно представить $X$ в виде

$$X = (X \setminus X_1) \cup (X_1 \setminus X_2) \cup ... \cup ( X_k \setminus X_{k+1} ) \cup ... \cup S.$$

Точно так же мы можем представить $X_1$ и всякий другой последующий член $X_k$. Теперь зададим

$$M= (X_1 \setminus X_2) \cup (X_3 \setminus X_4) \cup (X_5 \setminus X_6) \cup ... $$

$$N = (X \setminus X_1) \cup (X_2 \setminus X_3) \cup (X_4 \setminus X_5) \cup ...$$

$$N_1 = (X_2 \setminus X_3) \cup (X_4 \setminus X_5) \cup (X_6 \setminus X_7) \cup ...$$ $$\vdots$$

и перепишем $(1)$ как $X = S \cup M \cup N$, а $X_1 = S \cup M \cup N_1$. Имеем:

$$ g \circ f (X \setminus X_1) = (X_2 \setminus X_3) \Rightarrow (X \setminus X_1) \sim (X_2 \setminus X_3)$$

$$g \circ f (X_2 \setminus X_3) = (X_4 \setminus X_5) \Rightarrow (X_2 \setminus X_3) \sim (X_4 \setminus X_5)$$

$$\vdots$$

Таким образом $N \sim N_1$. А исходя из того, что $X = S \cup M \cup N$ и $X_1 = S \cup M \cup N_1$ можно установить биекцию между $X \sim X_1$. Но так как $X_1 \sim Y$, следовательно $X \sim Y. \blacksquare$

[Nemiroff]

RonHabard в сообщении #1040969 писал(а):

$$S \supset X_1 \supset X_2 \supset ... \supset X_k \supset X_{k+1} ... = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} X_k = S. \qquad (1)$$

А что здесь обозначает первый знак равенства?

[RonHabard]

Что множество $S$ есть пересечение всех входящих в него подмножества.

[Nemiroff]

RonHabard в сообщении #1041052 писал(а):

Что множество $S$ есть пересечение всех входящих в него подмножества.

Какая-то трава. Непонятно ни откуда это $S$ взялось, ни чему оно равно, ни что с чем приравнивает первый знак равенства.

[Deggial]

RonHabard заблокирован как злостный клон.