Неравенство

[TR63]

TR63 в сообщении #1039975 писал(а):

arqady в сообщении #1039769

писал(а):
Как было показано, достаточно доказать неравенство для $b=a$ и $c^4+2a^4=33$.
То бишь, надо доказать, что $10(2a+c)-3a^2c\leq42$ или $(10-3a^2)c\leq42-20a$

Рассмотрим пока случай, когда $c<0$, $a>0$.

При этом условии достаточно доказать неравенство:
$[-(10-3a^2)](-c)\le(42-20a)$, считая, что $10-3a^2\le0$
$(3a^2-10)c_1\le 42-20a$
Предположим противное, т.е., что
$(3a^2-10)c_1>42-20a$
Тогда должно существовать $\alpha>0$ такое, что

$c_1=\frac{42-20a}{3a^2-10}+\alpha$. $(-c)^4=c_1^4$
$c_1=A+\alpha$
$(A+\alpha)^4+2a^4=33$
Получаем уравнение четвёртой степени относительно переменной $\alpha$ с положительными коэффициентами, кроме свободного члена, т.к. он должен быть отрицательным, чтобы была возможность для существования $\alpha>0$. Тогда будем иметь, что должно выполняться неравенство:
$(\frac{42-20a}{3a^2-10})^4+2a^4-33<0$
Решаем на вольфраме. Получаем противоречие. Следовательно $\alpha>0$ не существует. Опять противоречие. Следовательно неравенство имеет нужный нам знак $(\le)$.
Второе неравенство при $abc<0$ также можно решить методом от противного. Правда, там больше мелких нюансов. Исходное неравенство при положительных переменных также решается этим методом. Но есть вопрос (сомнение).

[arqady]

sergei1961 в сообщении #1040201 писал(а):

Есть строгое доказательство, что максимум в двойке? Возможно, я что-то просмотрел...

У функции, которую я рассматриваю, нужно найти минимум.
Обычная проверка чередования знаков производной... Что может быть строже?
Может быть, Вы хотите строгого доказательства что у производной ровно три корня?

[sergei1961]

Да, хотелось бы более чёткого и строгого исследования многочлена 5 степени на заключительном шаге.

[TR63]

arqady в сообщении #1039769 писал(а):

, где $f(a)=4\ln(42-20a)-4\ln|10-3a^2|-\ln(33-2a^4)$.
$f'(a)=-\frac{80}{42-20a}+\frac{24a}{10-3a^2}+\frac{8a^3}{33-2a^4}=\frac{24(a-2)(20a^5-23a^4-46a^3-22a^2-209a+275)}{(21-10a)(10-3a^2)(33-2a^4)}$.
У $f$ есть три критические точки на промежутке $\left(-\sqrt[4]{16.5},\sqrt[4]{16.5}\right)$: $a_1=-1.978...$, $a_2=0.986...$ и $a_3=2$.

У меня вольфрам показывает другие критические точки, если под ними подразумевать точки, в которых производная равна нулю.
Если вычисления производятся при помощи вольфрама, то непонятно, зачем такие сложности. Ведь, при желании, проще организовать сумму квадратов для неравенства, которое требуется доказать, используя вольфрам (я пас).
Мне интереснее узнать, есть ли верхняя численная граница при положительных переменных (у меня получается, что есть).

[arqady]

TR63 в сообщении #1040763 писал(а):

У меня вольфрам показывает другие критические точки...

Какие?

TR63 в сообщении #1040763 писал(а):

Если вычисления производятся при помощи вольфрама...

С помощью обычного калькулятора.

TR63 в сообщении #1040763 писал(а):

Ведь, при желании, проще организовать сумму квадратов для неравенства, которое требуется доказать, используя вольфрам (я пас).

Тогда зачем Вы об этом говорите, если Вы пас?

[TR63]

arqady в сообщении #1040788 писал(а):

TR63 в сообщении #1040763

писал(а):
У меня вольфрам показывает другие критические точки...

arqady в сообщении #1040788 писал(а):

Какие?

$(-1.1855; 1.9899; 2)$.

arqady в сообщении #1040788 писал(а):

TR63 в сообщении #1040763

писал(а):
Ведь, при желании, проще организовать сумму квадратов для неравенства, которое требуется доказать, используя вольфрам (я пас).

arqady в сообщении #1040788 писал(а):

Тогда зачем Вы об этом говорите, если Вы пас?

Исходная задача, ведь, уже решена. А, это новая задача, которая с вольфрамом является, думаю, арифметической. Неохота с арифметикой париться.

[arqady]

TR63 в сообщении #1040793 писал(а):

$(-1.1855; 1.9899; 2)$.

Ваш вольфрам врёт! Проверьте на калькуляторе.

[TR63]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=100a%5E4-92a%5E3-138a%5E2-44a-209%3D0
Вольфрам не врёт. Это я нашла критические точки не для $f(a)$, а для $f'(a)$. Т.е. ошибка моя. Прошу извинить. Но тем не менее, всё это арифметика. Плюс, конечно,что понизили степень. Но не настолько, чтобы не пользоваться калькулятором. И чем калькулятор лучше вольфрама.
Можно не отвечать. Лично мне решение понятно. Спасибо, что завершили доказательство.

[TR63]

Хочу привести решение для неотрицательных переменных, т.к. появилась новая идея, которую можно применять для решения других неравенств.
$0\le a\le b\le c$

$a^4+b^4+c^4=33$

$a+b+c<4.2$
Будем считать, что при $a=0$ доказан факт $b+c<4.2$ (это легко).
Будем решать методом от противного. Предположим, что существуют $(a;b;c)$, при которых $a+b+c\ge 4.2$. Тогда $a=4.2-b-c+\alpha$, $\alpha\ge 0$.
$f=(4.2-b-c+\alpha)^4+b^4+c^4-33=0$
Достаточно доказать,что
$(4.2-b-c)^4+b^4+c^4-33>0$
Раскрыв скобки, рассматриваем уравнение четвёртой степени относительно переменной$(b)$.
$[625b^4+250b^3(5c-21)+75b^2(5c-21)^2+10b(5c-21)^3]+[625c^4-5250c^3+33075c^2-92610c+86928]=0$
Идея заключается в следующем: возможны только два случая 1) случай отсутствия перемены знака означает отсутствие положительных корней, либо их кратность (если кратных нет, то $f>0$); 2) случай трёх перемен знака означает, что уравнение имеет нечётное количество положительных корней; $f(0)>0$, $f(b=c)>0$ (проверяем на вольфраме); такая ситуация при нечётном количестве положительных корней невозможна; получили противоречие. Из него следует, что $c\ge4.2$. Тогда получаем первый случай. Остаётся исследовать, когда уравнение имеет\не имеет кратные корни (рассмотреть результант; но это слишком громоздко).
Интересно, можно ли увеличить количество переменных. Или- это потолок?

[TR63]

TR63 в сообщении #1043055 писал(а):

Достаточно доказать,что
$(4.2-b-c)^4+b^4+c^4-33>0$

Это, если $b+c<4.2$ при $a>0$. И надо ещё будет рассмотреть случай, существует ли $b+c>4.2$ при $a>0$. Этот случай я не рассматривала. Каков будет результат, не знаю.

[sergei1961]

arqady, для неравенства со средним квадратичным выше $M_2$ есть доказательство, кроме приведённого через ряды? Вроде обсуждалось, что есть через AM-GM, оно приводилось, я что-то пропустил?

Извините, я перепутал топик, речь про другое неравенство с произведениями степеней а и в.