Формализовать метод

[Nataly-Mak]

Помогите, пожалуйста, формализовать метод.
Речь идёт о методе составных квадратов/кубов.
Это один из универсальных методов построения классических магических квадратов/кубов.

Начну с магических квадратов.
Методом составных квадратов можно построить магический квадрат порядка $n$ в том случае, когда $n=km$, $ k>2$, $m>2$.
Магический квадрат порядка $k$ назовём основным, а магический квадрат порядка $m$ - базовым. Базовый и основной квадраты можно менять местами. Кроме того, возможен случай $k=m$, и даже один и тот же квадрат может служить и базовым, и основным.

Пример

базовый магический квадрат ($m=3$)

2 7 6
9 5 1
4 3 8

основной магический квадрат ($k=4$)

1 8 11 14
15 10 5 4
6 3 16 9
12 13 2 7

Будем строить методом составных квадратов магический квадрат порядка $n=km=12$.

Обозначим:
$a_{i,j}$ - элементы основного квадрата ($i,j =1,2,...,k$);
$b_p $ - элементы базового квадрата ($p=1,2,...,m^2$);
$c_{i_p,j_p}$ - элементы искомого квадрата порядка $n=km$.

Тогда имеем следующую формулу для элементов искомого магического квадрата:

$c_{i_p,j_p}=a_{i,j}+k^2(b_p-1)$

Вот готовый магический квадрат 12-го порядка, построенный по данной формуле:

17 24 27 30 97 104 107 110 81 88 91 94
31 26 21 20 111 106 101 100 95 90 85 84
22 19 32 25 102 99 112 105 86 83 96 89
28 29 18 23 108 109 98 103 92 93 82 87
129 136 139 142 65 72 75 78 1  8 11 14
143 138 133 132 79 74 69 68 15 10 5  4
134 131 144 137 70 67 80 73 6  3 16 9
140 141 130 135 76 77 66 71 12 13 2  7
49 56 59 62 33 40 43 46 113 120 123 126
63 58 53 52 47 42 37 36 127 122 117 116
54 51 64 57 38 35 48 41 118 115 128 121
60 61 50 55 44 45 34 39 124 125 114 119

Понятно, что здесь дана общая формула метода, которую можно применить для любых значений $k,m$ таких что $n=km$.

Для магических кубов метод работает совершенно аналогично.
Я уже настроила этим методом кучу магических кубов, их можно посмотреть здесь
http://natalimak1.narod.ru/Perfect_magic_cube_25.rar

Но... никак не могу формализовать метод, то есть написать общую формулу, как сделала это для квадратов.
Хоть застрелись - ничего не получается
Я вообще не работаю с индексированными элементами магических кубов. Ну не идёт!

Поэтому прошу помочь формализовать метод составных кубов.
Только, пожалуйста, не используйте в индексах 0, так я вообще теряюсь Пусть индексация начинается с 1, как в квадратах.

Наверное, примерчик для кубов надо привести.
Вот этот классический совершенный куб 5-го порядка беру в качестве и базового, и основного:

25 16 80 104 90
115 98 4 1 97
42 111 85 2 75
66 72 27 102 48
67 18 119 106 5

91 77 71 6 70
52 64 117 69 13
30 118 21 123 23
26 39 92 44 114
116 17 14 73 95

47 61 45 76 86
107 43 38 33 94
89 68 63 58 37
32 93 88 83 19
40 50 81 65 79

31 53 112 109 10
12 82 34 87 100
103 3 105 8 96
113 57 9 62 74
56 120 55 49 35

121 108 7 20 59
29 28 122 125 11
51 15 41 124 84
78 54 99 24 60
36 110 46 22 101

(с сайта http://www.trump.de/magic-squares/magic ... bes-1.html)

и строю методом составных кубов классический совершенный куб 25-го порядка (посмотреть этот куб можно по указанной выше ссылке).
Для всех построений я писала новую программку, потому что у меня нет общей формулы магического куба, построенного методом составных кубов.

[Xaositect]

Nataly-Mak в сообщении #1039973 писал(а):

Будем строить методом составных квадратов магический квадрат порядка $n=km=12$.

Обозначим:
$a_{i,j}$ - элементы основного квадрата ($i,j =1,2,...,k$);
$b_p $ - элементы базового квадрата ($p=1,2,...,m^2$);
$c_{i_p,j_p}$ - элементы искомого квадрата порядка $n=km$.

Тогда имеем следующую формулу для элементов искомого магического квадрата:

$c_{i_p,j_p}=a_{i,j}+k^2(b_p-1)$

Я как-то не понял, почему один квадрат индексируется двумя индексами, а другой одним, и как определяется $i_p$ и $j_p$, но из примера вроде бы видно, что если $a_{i,j}$ - элементы основного квадрата и $b_{s, t}$ - элементы базового, то элементы результирующего квадрата вычислются как $c_{(i - 1)m + s, (j - 1)m + t} = b_{s,t} + (a_{i,j} - 1) m^2$

Аналогично можно сделать и с кубами, будет $c_{(i - 1)m + s, (j - 1)m + t, (k - 1)m + u} = b_{s,t,u} + (a_{i,j,k} - 1) m^3$$

[Nataly-Mak]

Xaositect в сообщении #1040020 писал(а):

Я как-то не понял, почему один квадрат индексируется двумя индексами, а другой одним...

Для простоты. Путаюсь, когда индексов много Так мне понятнее, когда базовый квадрат индексируется одним индексом.

Цитата:

и как определяется
$i_p$ и $j_p$

$p$ - номер подквадрата kxk в квадрате порядка $n$, соответствующий элементу базового квадрата $b_p$.

Цитата:

Аналогично можно сделать и с кубами, будет $c_{(i - 1)m + s, (j - 1)m + t, (k - 1)m + u} = b_{s,t,u} + (a_{i,j,k} - 1) m^3$$

Спасибо.
Теперь попробую разобраться и написать программку на все случаи составления магических кубов данным методом.

-- Пт июл 24, 2015 06:42:34 --

Xaositect в сообщении #1040020 писал(а):

... что если $a_{i,j}$ - элементы основного квадрата и $b_{s, t}$ - элементы базового, то элементы результирующего квадрата вычислются как $c_{(i - 1)m + s, (j - 1)m + t} = b_{s,t} + (a_{i,j} - 1) m^2$

С индексами у результирующего квадрата пока не разбиралась, но элементы основного и базового квадратов вы поменяли местами, элементы базового квадрата в моей формуле стоят в скобке.
Это вы специально сделали или случайно?

[Xaositect]

Случайно. Соответственно, вместо m^2 должно быть k^2.

[Nataly-Mak]

Спасибо. Теперь понятно.

[greg1982]

Nataly-Mak, зачем вам составные кубы? Базовые - и те довольно громоздкие.

[Nataly-Mak]

Xaositect
я прикинула пока для квадратов, вроде правильная формула такая получается:

$c_{(s - 1)k + i, (t - 1)k + j} = a_{i,j} + (b_{s,t} - 1) k^2$

Правильно?

greg1982
это метод построения.
К примеру, классический совершенный магический куб 5-го порядка искали много лет.
И нашли совсем недавно:
Walter Trump and Christian Boyer, 2003-11-13

Представьте, как трудно построить классический совершенный куб 25-го порядка без метода составных кубов, а с помощью этого метода он строится мгновенно.

-- Пт июл 24, 2015 16:02:09 --

И соответственно для кубов:

$c_{(s - 1)k + i, (t - 1)k + j, (u - 1)k + l} = a_{i,j,l} + (b_{s,t,u} - 1) k^3$

Ещё раз спасибо. Теперь можно писать программку для кубов.