Параметрическое дифференцирование. Фихтенгольц.

[Guliashik]

Здравствуйте.
Дошёл до $4.121 Фихтенгольца. И не понимаю что значат некоторые формулы. Возвращался назад, перечитывал всякие производные сложных функций, инвариантность дифференциала. И всё равно, не доходит.
$y=f(x), x=\varphi(t)$
$y'_{x}=\frac{dy}{dx}, y''_{xx}=({\frac{dy}{dx}})_{x}'$

Вот не могу понять, что же значит второе равенство.
Всё это дифференциалы по $t$. Первое выражение понятно. $y'_{x}=\frac{y'_{x}x'_{t}dt}{x'_{t}dt}$. Теперь мы находим его производную по $x$. Но каким образом мы можем найти эту производную. Сам по себе $y$ это функция по $x$, поэтому производную от $y'_{x}$ по $x$ найти труда не составит, ибо там $x$ присутствует. А вот что делать со всякими $x'_{t}$, там то $x$ исчезнуть мог.

Например. $y=\sqrt{1-x^2}, x = \sin(t)$. Тогда, $dx = \cos(t)dt, dy=-\sin(t)dt$.
$y'_{x}=\frac{-\sin(t)dt}{\cos(t)dt}$. Если преобразовать косинус, то можно добиться, чтобы эта функция была от $x$. Но если её не так легко преобразовать? Что делать тогда?

Я понимаю, что у меня фундаментальный провал. Подскажите, что мне перечитать или на что по-другому посмотреть.

[mihailm]

Вы временно на Фихтенгольца забейте, возьмите задачник, любой какой нравится (Демидович, Ефимов-Поспелов, Кудрявцев-Кутасов, Данко-Попов) и начните решать оттуда первую задачу по этой теме, потом вторую и т.д. Калькулюс такой проведите и потом опять к теории

[Guliashik]

mihailm
Последую вашему совету. А то я и правда теорией зачитался. Спасибо.

[Shtorm]

Guliashik в сообщении #1038689 писал(а):

Здравствуйте.
Дошёл до $4.121 Фихтенгольца. И не понимаю что значат некоторые формулы. Возвращался назад, перечитывал всякие производные сложных функций, инвариантность дифференциала. И всё равно, не доходит.
$y=f(x), x=\varphi(t)$
$y'_{x}=\frac{dy}{dx}, y''_{xx}=({\frac{dy}{dx}})_{x}'$

$$y''_{xx}=\left({\frac{dy}{dx}}\right)'_x=\frac{d^2y}{dx^2}$$

А теперь $d^2y$ находите как дифференциал второго порядка через $t$ и $dx^2$ находите через $t$.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #1038732 писал(а):

$$y''_{xx}=\left({\frac{dy}{dx}}\right)'_x=\frac{d^2y}{dx^2}$$

А теперь $d^2y$ находите как дифференциал второго порядка через $t$ и $dx^2$ находите через $t$.

Неточно написал. Там же есть формула:

$$y''_{xx}=\left({\frac{dy}{dx}}\right)'_x=\frac{dx\cdot d^2y-d^2x\cdot dy}{dx^3}$$

Все дифференциалы в правой части формулы без проблем находятся через $t$. И ответ полученный по этой формуле, точно такой же как если бы $y$ дважды продифференцировали по $x$.

[Munin]

Обе формулы верны, но с уточнением: в них фигурируют разные $d^2.$ Для дифференциалов высших порядков необходимо учитывать переменную дифференцирования (и обозначения производных типа Лейбница, $\dfrac{d^n}{dx^n},$ становятся более узкоприменимыми). Если бы мы хотели уточнить этот момент, мы бы могли записать (здесь нужен один индекс при дифференциале):

$$y''_{xx}=\frac{d^2_x y}{dx^2}=\frac{dx\,d^2_t y-d^2_t x\,dy}{dx^3},$$

что вполне согласуется с тем, что

$$d^2_t y=y''_{xx}dx^2+y'_x\,d^2_t x.$$

[Shtorm]

Munin в сообщении #1038940 писал(а):

что вполне согласуется с тем, что

$$d^2_t y=y''_{xx}dx^2+y'_x\,d^2_t x.$$

И это же можно написать так:

$$d^2_t y=y''_{tt}dt^2$$