Палочковый многоугольник

[Ktina]

(ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
10-11 кл., тренировочный вариант, 23 февраля 2003 г. )

Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник. Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?
(ломать палочки категорически запрещается - прим. ред.)


Думаю, да. Например, если первые 99 палочек имеют длины

$$2^1,\quad 2^2,\quad 2^3,\quad\dots,\quad 2^{99}$$

, а сотая палочка имеет длину

$$2^{100}-3$$

В этом случае стоугольник сложить легко.
Предположим, что из меньшего числа палочек можно сложить многоугольник. Тогда, если наибольшая из палочек в получившимся многоугольнике - не сотая, то сумма длин всех остальных палочек (в этом многоугольнике) меньше длины наибольшей палочки - противоречие. Если же наибольшая палочка - сотая, то для того, чтобы сумма длин остальных оказалась не меньше длины сотой, нужно задействовать все оставшиеся 99 палочек, а это уже стоугольник - снова противоречие.

Это что, всё, да? И каким образом подобные задачи на ТурГор попадают? Да ещё и в День Советской Армии?!