натуральное - рациональное - иррациональное число в задачке

[ananova]

Правильно ли я доказываю, что $d \not \in \mathbb{N}$ ?

Начальные условия:
$a, b, c \in \mathbb{N}$;
$(a, b)=1$;
$(a+1)^3=(a+b)d^3$ ; $\Longrightarrow$ $(a+b)=c^3$; $\Longrightarrow$ $(a+1)^3=c^3d^3$

Доказательство:
Т.к. $(a, b)=1$, то $(a+1, a+b)=1$; $\Longrightarrow$ $((a+1)^3, a+b)=1$ $\Longrightarrow$ $\frac {(a+1)^3}{a+b} = d^3$
$\Longrightarrow$ $d \not \in \mathbb{N}$
Правильно ли я понимаю, что корень кубический из рационального числа - в результате будет иррациональным числом?

-- Сб июл 18, 2015 22:34:32 --

Тут, я ошибся

ananova в сообщении #1038395 писал(а):

$(a+1, a+b)=1$;

Действительно. Если $a=2, b=7$, то $a+1=3, a+b=9$ $\Longrightarrow$ $(a+1,a+b)=3$ $\Longrightarrow$ $((a+1)^3,a+b)=3$

-- Сб июл 18, 2015 22:43:08 --

В связи с этими правками, тем не менее, может ли,
при НОД $((a+1)^3,a+b) = ((a+1)^3,c^3)$ больше 1,
число $d$ быть натуральным? $\frac {(a+1)^3}{a+b} = d^3$

[Andrey A]

$a=29,b=971,c=10,d=3$
Всё $>1$.

[ananova]

Andrey A
Спасибо!

абсолютно хороший пример.