Функциональное уравнение IMO 2015

[Yu_K]

Требуется найти действительную функцию действительной переменной, удовлетворяющую уравнению

$f(x + f(x + y))+ f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$

Источник http://www.imo2015.org/files/2015-eng.pdf

Наверное какие-то еще есть кроме $f(x) = x $ ?

[Naf2000]

$f(x)=2-x$

[grizzly]

Naf2000 в сообщении #1037660 писал(а):

$f(x)=2-x$

Подозреваю, что других нет. Из следующих соображений:
Из $x=0$, $y=0$ имеем $f(f(0))=0$.
Возьмём $x=0$, $y=f(0)$. Тогда $f(f(f(0)))+f(0)=f(f(0))+f(0)\cdot f(0)$. Откуда $2f(0)=f(0)\cdot f(0)$. Здесь только 2 решения: $f(0)=0$ и $f(0)=2$.

Отдельные уравнения не вижу, как получить. Для первого случая сразу видно, что $f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$, то есть, для аргумента определённого вида $f(t)=t$. Как распространить это на всю ось, не вижу. Оно и понятно -- с учётом IMO здесь должны быть сложности посерьёзнее.

[Nemiroff]

Если $f(0)=2$, то $f(2)=0$
Подставляем $y=1$, получаем то, что написал grizzly: $f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$
Подставляем $x=0$, $y=a+f(a+1)$, получаем $f(a+1)+a +2=f(a+1)+a + 2(f(a+1)+a)$, то бишь $f(a+1)=1-a$, это и есть $f(x)=2-x$

-- Чт июл 16, 2015 17:27:18 --

Ох.
Если $f(0)=0$.
Во-первых, $(x,0)$ даёт $f(x+f(x))=x+f(x)$.
Во-вторых, $(x,1)$ даёт то же самое $f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$
В-третьих, $(x,-x)$ даёт $f(x)+f(-x^2)=x-xf(x)$, а $(-x,x)$ — $f(-x)+f(-x^2)=-x+xf(-x)$. Отсюда получаем $f(-1)=-1$, $f(1)=1$.
ОК
Берём почти ту же подстановку, что и в первом случае $(1,x+f(x+1))$.
Отсюда $f(1+f(1+x+f(x+1)))+f(x+f(x+1))=1+f(1+x+f(x+1))+f(1)(x+f(x+1))$, то бишь $f(1+f(1+x+f(x+1)))=1+f(1+x+f(x+1))$, и далее $f(1+1+x+f(x+1))=1+1+x+f(x+1)$, из чего следует $f(f(x)+x+1)=f(x)+x+1$.
Подставляем $(x,-1)$, получаем $f(x+f(x-1))+f(-x)=x+f(x-1)-f(x)$, с учётом предыдущего $f(x)=-f(-x)$.
Теперь вычитаем два равенства из "в-третьих", получаем $f(x)-f(-x)=2x-x(f(x)+f(-x))$ и окончательно $f(x)=x$.

[Nemiroff]

Не знаю, что не так с отображением формулы, движок сбрендил.

[grizzly]

Nemiroff
Здорово! Но кто бы мог подумать, что второй случай настолько проще первого?