"Сила Лоренца"

[Oleg Zubelevich]

Частица массы $m$ движется без трения по поверхности сферы радиуса $r$ в поле силы тяжести. Кроме силы тяжести и силы реакции сферы, на частицу действует сила $\overline F=[\overline v,\overline B].$ ($\overline v$ -- скорость частицы)
Можно ли так подобрать постоянный вектор $\overline B$, что северный полюс окажется положением устойчивого равновесия частицы?

[Pphantom]

(Оффтоп)

А зачем столь странное обозначение, почему не $\vec B$ и т.п.?

[unistudent]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1037453 писал(а):

А зачем столь странное обозначение, почему не $\vec B$ и т.п.?

Это же очевидно - так удобней писать на доске. Отсюда иллюзия исключительности

[iifat]

Как-то я, видимо, не так понимаю «положение равновесия». Вот я кладу частицу чуть в стороне от северного полюса и отпускаю. Скорость нулевая (в момент времени нуль). Сила направлена от северного полюса.

[Oleg Zubelevich]

iifat в сообщении #1037481 писал(а):

Как-то я, видимо, не так понимаю «положение равновесия». Вот я кладу частицу чуть в стороне от северного полюса и отпускаю. Скорость нулевая (в момент времени нуль). Сила направлена от северного полюса.

Я думаю, что Вы все правильно понимаете. Устойчивость означает, что если мы мало сдвинули частицу от полюса и придали ей малую скорость, то она вечно будет болтаться в малой окрестности полюса с малой скоростью. А ответ на вопрос задачи далеко неочевиден. Это содержательная задача.

[unistudent]

(Оффтоп)

А сфера у нас что, глобус на рабочем столе или планета, затерянная в пучине космоса?... специально для вас, Зубелевич, я могу смастерить модель, которая будет в точности соответсвтваовать условиям вашей задачи, и для которой вектор $B$ найти будет проще простого.

[Pphantom]

unistudent - предупреждение за слабо завуалированное хамство, искажение ника и оффтопик. Содержимое сообщений убрано в тэги оффтопика.

[Oleg Zubelevich]

Эффект, при котором неустойчивое положение равновесия делается устойчивым при добавлении гироскопических сил, называется гироскопической стабилизацией.

[Oleg Zubelevich]

Исследуем устойчивость положения равновесия в линейном приближении. Введем декартову систему координат $xyz$ с началом в центре сферы так, что ось $z$ направлена вертикально: $x^2+y^2+z^2=r^2,\quad \overline g=-g\overline e_z,\quad \overline B=B\overline e_z.$ За обобщенные координаты точки в окрестности полюса примем $x,y$. Лагранжиан линеризованной системы имеет вид

$$L=\frac{m}{2}\big(\dot x^2+\dot y^2\big)+\frac{mg}{2r}\big(x^2+y^2\big)-By\dot x.\qquad (*)$$

Eсли $rB^2>4gm^2$ то указанное положение равновесия устойчиво в линейном приближении т.е. является устойчивым решением системы (*). При $rB^2<4gm^2$ положение равновесия исходной нелинейной системы неустойчиво.

[Theoristos]

И в каком смысле оно устойчиво?
Мне кажется "устойчивое равновесие" и "устойчивость решения" - понятия несколько разные.

... а если рассмотреть предельный случай $r \to \infty$?

... а что будет при инверсии направления времени?

[Oleg Zubelevich]

Theoristos в сообщении #1042283 писал(а):

И в каком смысле оно устойчиво?

положение равновесия линейной системы устойчиво по Ляпунову

Theoristos в сообщении #1042283 писал(а):

Мне кажется "устойчивое равновесие" и "устойчивость решения" - понятия несколько разные.

это Вам толькко так кажется

Theoristos в сообщении #1042283 писал(а):

.. а если рассмотреть предельный случай $r \to \infty$?

... а что будет при инверсии направления времени?

хорошие вопросы. вперед

[Theoristos]

Oleg Zubelevich в сообщении #1042286 писал(а):

там написано

Да, я вижу.
Но это, имхо, вопрос из серии "окружим частицу на сфере маленьким отражающим ящиком. При каком размере ящика вершина сферы будет центром устойчивого равновесия"?

Введение малых потерь кардинально рвут задачу.
После линеаризации "грузиком на антипружинке" потерялось ограничение на соотношение скорость-радиус сферы.

Из наиболее забавного - связь начальных скорости и координаты с мин/макс радиусами получающейся "намотки".

[Oleg Zubelevich]

Тонкий красивый эффект. Интенсивно изучаемый. И ни одного содержательного комментария.

[levtsn]

Сила Лоренца заставляет тела двигаться по окружности. Если толкнуть частицу из точки от которой центр сферы слева, а Лоренц направлен вправо то не будет частица обращаться вокруг центра,нет таких траекторий. Так как она не обращается вокруг центра нельзя сказать что центр является точкой равновесия, а также то что в скатывающая сила не будет уравновешиваться за один период и траектория частицы начнет дрейф от центра сферы.

[Theoristos]

Oleg Zubelevich: любопытно, в каком разрезе изучаемый? Какой выход надеются получить?

levtsn: я вчера немного поковырялся, при толчке от центра, в этом идеальном случае, частица наворачивает спираль с проворотом вокруг верт. оси, каждый раз проходя через центр.