Уравнение второго порядка, формула Лиувилля-Остроградского

[Andrey_SR]

Как можно найти частное решение ЛДУ второго порядка с переменными коэффициентами, чтобы затем применить.формулу Лиувилля-Остроградского?? В каких книгах поподробнее можно прочитать?

[Brukvalub]

Немного есть здесь: Филиппов А.Ф. — Сборник задач по дифференциальным уравнениям

[V.V.]

Трушков В.В. "Обыкновенные дифференциальные уравнения". Переславль-Залесский. Изд-во УГП, 2006.

Электронная версия лежит на http://joker.botik.ru/~trushkov

[Andrey_SR]

Имется уравнение$xy''- (1+x)y'+y=\frac{x^2}{x+1}$, нашёл частное решение $y=x+1$ Применяя формулу Остроградского-Лиувилля прихожу к уравнению
$(x+1)y'-y=C_1xe^x$, далее прихожу к
$(\frac{y}{x+1})'=C_1\int \frac{xe^xdx}{(x+1)^2}$. Интеграл в правой части не берётся по-моему?
Может здесь проще можно решить ?

[V.V.]

$y(x)=C_1e^x+C_2(x+1)-1-\log(x+1)-x\log(x+1)$.

[Someone]

Andrey_SR писал(а):

$(\frac{y}{x+1})'=C_1\int \frac{xe^xdx}{(x+1)^2}$. Интеграл в правой части не берётся по-моему?

По частям его: $u=xe^x$, $dv=\frac{dx}{(x+1)^2}$.

[Andrey_SR]

Спасибо, на самом деле оказывается просто.!!

[Andrey_SR]

Есть задача: Пусть функция p(x) определена и непрерывна при $x\ge 0$ и пусть $y_1(x),y_2(x) ~~ $ решения уравнения $y''+p(x)y=0$, причём $\lim_{x\to +\infty}y_i = 0,$ производные $y'_i (x)$ограничены при $x_i \ge0, i=1,2$. Доказать, что $ y_1(x)$ и $y_2(x)$ линейно зависимы при $x\ge 0$
C чего начать решение, какие теоремы использовать ??

[Gafield]

Что значит "линейно ограничены"?
Если просто ограничены, то теорема Лиувилля для определителя Вронского.

[Andrey_SR]

да, просто ограничены, имеется ввиду формула Лиувилля-Остроградского?

[Gafield]

Да. Ее еще называют просто Лиувилля.