Решение системы нелинейных уравнений особой формы

[MuKeP]

Доброе время суток. Столкнулся с проблемой, которая поставила передо мной несколько возможных решений.

Сразу прошу прощения за возможные (и, скорее, вероятные) ошибки ввиду того, что я химик.

Суть задачи - получение декартовых координат атомов в молекуле по матрице расстояний.

Допустим мы располагаем координатами трех точек $i j k$ в трехмерном пространстве (не важно как мы их получили). Нам нужно получить координаты $x y z$ для точки $a$, располагая матрицей расстояний $R$ между всеми четырьмя точками.

Очевидно, что искомые координаты связаны с расстояниями следующими соотношениями.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &R_{ai}^{2}=(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2& \\ &R_{aj}^{2}=(x-x_j)^2 + (y-y_j)^2 + (z-z_j)^2& \\ &R_{ak}^{2}=(x-x_k)^2 + (y-y_k)^2 + (z-z_k)^2& \\ \end{array} \right.$$

На примере первого уравнения преобразуем все уравнения системы

$R_{ai}^{2}=x^2 + y^2 + z^2 + x_i^2+y_i^2+z_i^2 - 2xx_i - 2yy_i - 2zz_i$
и введем обозначение $\tilde{R}_i=R_{ai}^{2}-x_i^2-y_i^2-z_i^2$

таким образом

$\tilde{R}_i=x^2 + y^2 + z^2 - 2xx_i - 2yy_i - 2zz_i$

Пробовал решать эту проблему при помощи метода Ньютона. Но решение сильно зависит от начального приближения и особо ничего хорошего из этого не получилось. (возможно делал что-то неправильно, но если задавал хорошее начальное приближение, то все получалось)

Собственно моих незначительных познаний в матричной алгебре хватило (опять таки возможно неправильно) для того, чтобы записать систему в таком виде:

$xx^T-2Ax=b$

где $ x=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} A= \begin{pmatrix} x_i& y_i & z_i \\ x_j& y_j & z_j \\ x_k& y_k & z_k \end{pmatrix} b=\begin{pmatrix} \tilde{R}_i\\ \tilde{R}_j\\ \tilde{R}_k \end{pmatrix} $

Может быть есть какой-то матричный способ решения этой задачи?

Заранее спасибо. Буду рад любой подсказке.

[Brukvalub]

Вычитая уравнения друг из друга, можно получить два линейных уравнения, задающих 2 плоскости. Эти две плоскости пересекутся по прямой, которая пересечет сферу, задаваемую любым из заданных уравнений, в искомой точке (или в двух точках, одна из которых - искомая).

[TOTAL]

MuKeP в сообщении #1037267 писал(а):

Пробовал решать эту проблему при помощи метода Ньютона. Но решение сильно зависит от начального приближения и особо ничего хорошего из этого не получилось. (возможно делал что-то неправильно, но если задавал хорошее начальное приближение, то все получалось)

Попробуйте получить начальное приближение следующим образом. Из точки $(0,0,0)$ проведите прямую через центр первой сферы. Эта прямая проткнет первую сферу в двух точках, ближайшую из этих точек к $(0,0,0)$ возьмите за сделующее приближение $(x_1, y_1, z_1)$.

Затем из точки $(x_1, y_1, z_1)$ проведите прямую через центр второй сферы. Эта прямая проткнет вторую сферу в двух точках, ближайшую из этих точек к $(x_1, y_1, z_1)$ возьмите за сделующее приближение $(x_2, y_2, z_2)$.

Затем из точки $(x_2, y_2, z_2)$ проведите прямую через центр третьей сферы. Эта прямая проткнет третью сферу в двух точках, ближайшую из этих точек к $(x_2, y_2, z_2)$ возьмите за сделующее приближение $(x_3, y_3, z_3)$.

И так далее по кругу. То, что получится, когда приближения начнут мало отличаться друг от друга, примите за начальное приближение для метода Ньютона.