Задача из вступительных экзаменов в универ. ИНХА в Ташкенте

[Ismatulla]

Пусть $a_n$ число пар $(s,t)$ таких, что $s^2+t^2 \leqslant n^2$ и $|s|+|t| \geqslant n$, где $s$ и $t$ целые числа. Вычислить $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^2}$

Попробовал второе условие возвести в квадрат, чтобы получились те же квадраты, что и в первом условии. Попробовал отнять друг от друга условии, прибавить, ничего полезного не увидел. Как найти число $a_n$? Помогите пожалуйста.

[Sonic86]

Возьмите, например $n=10$, нарисуйте картинку и внимательно на нее посмотрите.
Так же полезна будет однородная замена переменных.

[ex-math]

Sonic86
Картинка поможет найти ответ, но не обосновать его. Обоснование будет, имхо, жестковатым для вступительного экзамена.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Не, ну как бы да: если уж на вступительных экзаменах в универ, где проходят пределы, просят найти предел, то да, увы

[ex-math]

(Оффтоп)

А как Вы с площадью круга предполагали это соотносить, каким способом? Проблему Гаусса, формулу суммирования Эйлера и меру Жордана предполагаем неизвестными. И про однородную замену непонятно -- что она даст-то.

[2old]

(Оффтоп)

А разве нужно что-то обосновывать? Это же просто геометрическая вероятность.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1035666 писал(а):

Проблему Гаусса, формулу суммирования Эйлера и меру Жордана предполагаем неизвестными. И про однородную замену непонятно -- что она даст-то.

Наверное, я чего-то не вижу. Там же простая интегральная сумма. Причем, как раз та, через которую в школе площадь определяют - положить фигуру на квадратную сетку и ячейку сетки уменьшать.

Но я, конечно, при рассуждении ограничивать себя какими-то рамками, кроме рамок моего незнания, не намерен

2old в сообщении #1035667 писал(а):

А разве нужно что-то обосновывать? Это же просто геометрическая вероятность.

Ну да. Кстати, теорвер уже в школе вроде бы проходят.

[Brukvalub]

ex-math в сообщении #1035662 писал(а):

Sonic86
Картинка поможет найти ответ, но не обосновать его. Обоснование будет, имхо, жестковатым для вступительного экзамена.

Картинка поможет выписать асимптотически одинаковую двустороннюю оценку числа точек, дальше - теорема о 2-х милиционерах.

[ex-math]

Ссылка на школьное определение площади, наверно, и есть то, что ожидали от абитуриентов.
Brukvalub
Двусторонняя оценка не так проста, как кажется, потому что окружность кое-где имеет вертикальные касательные. Правда, можно воспользоваться симметрией относительно биссектрисы первого координатного угла.

UPD. Здесь, правда, монотонность спасает. Вы правы, разница будет $O (n) $.
Привык, понимаешь, к тяжелой артиллерии

[2old]

Brukvalub
Что-то я перестал понимать совсем :( Ответ же $\pi-2$?
А какие вы верхнюю и нижнюю оценку предлагаете, не могу сообразить.

[Brukvalub]

2old в сообщении #1035678 писал(а):

Brukvalub
Что-то я перестал понимать совсем :( Ответ же $\pi-2$?
А какие вы верхнюю и нижнюю оценку предлагаете, не могу сообразить.

Выше предлагали оценивать требуемое число точек из соображений площади, я лишь поддержал и чуть конкретизировал это предложение.

[Ismatulla]

Посмотрел в ответах, да, ответ $\pi - 2$

-- 11.07.2015, 12:13 --

ex-math в сообщении #1035662 писал(а):

Sonic86
Картинка поможет найти ответ, но не обосновать его. Обоснование будет, имхо, жестковатым для вступительного экзамена.

В экзаменах специально пара сложных задач дают, чтобы отфильтровать вундеркиндов на бюджетные места.

Вот здесь вот задачи
http://www.inha.uz/en/mainblock/1/

Задачу в теме я взял отсюда
inha.uz:81/uploads/exam/1_Exam_Math-A.zip

-- 11.07.2015, 12:18 --

Sonic86 в сообщении #1035664 писал(а):

(Оффтоп)

Не, ну как бы да: если уж на вступительных экзаменах в универ, где проходят пределы, просят найти предел, то да, увы

У нас в третьем курсе лицеев проходят пределы, замечательные пределы и интегралы по частям. Слава Богу, кратные интегралы туда ещё не засунули.