Скорость сходимости

[2old]

Последовательность $\{x_n\}$ задана следующим образом $x_{n+1}=x_n(1-x_n)$
Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot x_{n}=1$

В задаче перед этой нужно было найти предел последовательности $x_{n+1}=x_n(1-x_n)$ и начальные условия, при которых она сходится.
Я её решил, результат: $\lim x_n=0$, сходится при всех $x_1\in[-1;2]$ Так что в этой задаче будем считать это известным.

А как решать эту задачу я не понимаю. Ясно, что нужно доказать, что ${x_n}$ стремится к нулю с такой же скоростью, как $\frac{1}{n}$. Но формально я умею это записывать только ровно как утверждение, которое нужно доказать.

Наверное полезным будет $\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim(1-x_n)=1$. Но, например для $\frac{1}{n^2}$ имеем такой же результат, поэтому я не очень понимаю, что это значит.

[ewert]

2old в сообщении #1035115 писал(а):

сходится при всех $x_1\in[-1;2]$ Так что в этой задаче будем считать это известным.

Лучше считать это неизвестным. Так, деликатности ради.

[Legioner93]

2old в сообщении #1035115 писал(а):

В задаче перед этой нужно было найти предел последовательности $x_{n+1}=x_n(1-x_n)$ и начальные условия, при которых она сходится.
Я её решил, результат: $\lim x_n=0$, сходится при всех $x_1\in[-1;2]$ Так что в этой задаче будем считать это известным.

Ну как же она может сходится к нулю при отрицательных $x_1$, если $x_{n+1} - x_{n} = - x_{n}^2 < 0$

[grizzly]

Legioner93 в сообщении #1035125 писал(а):

Ну как же она может сходится к нулю при отрицательных $x_1$

А также при $x_1>1$?

[Legioner93]

grizzly
Разумеется! Там $x_2 < 0$ и дальше то же самое

[2old]

Да, вижу...
Вообще про сходимость я для последовательности $y_{n+1}=y_{n}(y_{n}-1)$ нашел, но тут же $x_{n+1}=x_{n}(1-x_{n})=-x_{n}(x_n-1)$. Кажется я натупил

[ewert]

2old в сообщении #1035135 писал(а):

Вообще про сходимость я для последовательности $y_{n+1}=y_{n}(y_{n}-1)$ нашел,

Тогда область правильная, но предел не совсем всегда будет нулём. А когда нулём, то асимптотика, естественно, другая.

[2old]

Здесь будет область сходимости $[0;1]$, в общем-то Legioner93 все для обоснования этого написал :(
А как найти асимптотику?

[demolishka]

Пусть $a>1$, тогда $\frac{x}{1+ax}\leq x(1-x) \leq \frac{x}{1+x}$, при $x \in (0;1-\frac{1}{a}]$. Проитерируйте это неравенство(т.е. сначала подставьте $x_0$, а потом итерируйте каждую из функций - неравенство сохранится в силу монотонности каждой из функций).

[grizzly]

2old
И посмотрите заодно про "логистическое отображение" в англовики. Оно для этой задачи не нужно, зато расширит кругозор до "откуда ноги растут".

[ex-math]

Введем обозначение $y_n=nx_n $. Тогда

$$ y_{n+1}-y_n=\frac1n\cdot\frac {(n+1)y_n}n\left (\frac n {n+1}-y_n\right). $$

У нас $y_2 <\frac2 {2+1} $. Попробуйте из приведенного равенства показать, что $y_n <\frac n {n+1} $ и притом возрастает. Это обеспечит существование предела, а там будет видно, чему он равен.

[2old]

Спасибо! Сейчас попробую сделать по всем предложенным маршрутам. Пока нашел на форуме аналогию между диффурами и рекуррентностями (спасибо ewert) и вроде получилось.

$$x_{n+1}-x_{n}=-x^2_{n}$$

$$\frac{x_{n+1}-x_{n}}{n+1-n}=-x^2_{n}$$

$$\frac{d}{dn}x_n=-x^2_n$$

$$d(\frac{1}{x_n}-n)=0$$

В связи с этим рассмотрим последовательность $y_n=\frac{1}{x_n}-n$

$$y_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}-(n+1)$$

$$y_{n+1}=y_n+\frac{x_n}{1-x_n}$$

$$y_n=y_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{x_i}{1-x_i}$$

Учитывая начальное условие (оказывается от него результат зависит ) $x_1=\frac{1}{2}$

$$\frac{1}{x_n}=n+1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{x_i}{1-x_i}$$

Т.к. $0\leq x_n <1$, то получаем $x_n\leq\frac{1}{n+1}$
Учитывая, что $g(x)=\frac{x}{1-x}$ возрастает на $0\leq x <1$, то подставляя результат выше:

$$\frac{1}{x_n}\leq n+1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\leq n+1+\ln(n)$$

В итоге (ура):

$$\frac{1}{n+1+\ln{n}}\leq x_n \leq \frac{1}{n+1}$$

Что дает требуемое

[2old]

ex-math
Не получается собрать разность как у вас

$$y_{n+1}-y_{n}=(n+1)x_{n+1}-nx_n=(n+1)(1-x_n)x_n-nx_n=(1-x_n)x_n+nx_n(1-x_n)-nx_n=(1-x_n)x_n-nx^2_n=$$

$$=x_n(1-(n+1)x_n)=\frac{1}{n}y_n(1-\frac{n+1}{n}y_n)$$

[ex-math]

2old
Все верно, $\frac {n+1}n $ вынесите за скобку.